小学“数学规定”教学方略

丁维虎 黄德俊

摘要：小学数学中有一类客观性较强且约定俗成的知识，通常被称为“数学规定”，诸如一些数学概念的命名、符号表达、书写格式和运算法则等。审视“数学规定”的教学，可以通过精心设计学习情境，让学生感受“数学规定”的必要性、有效性、系统性和延展性，促进学生对“数学规定”的深度理解，从而发展学生的数学核心素养。

关键词：数学规定数对确定位置

小学数学中有一类客观性较强且约定俗成的知识，通常被称为“数学规定”，诸如一些数学概念的命名、符号表达、书写格式和运算法则等。很多教师认为，“数学规定”一般都有深刻的背景和理由，不适合让小学生讨论或探究。因此，在教学中大多采用直接告知或让学生看书习得的方式，以求学生快速接受其要义，而把课堂时间和精力放到技能训练上。但是，笔者认为，这样处理消除不了学生心中的疑惑，满足不了儿童喜欢追问为什么的天性，不利于他们数学素养和能力的发展。

《中国学生发展核心素养》指出：当下，人的核心竞争力在于是否具备适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力。由此视角出发，审视“数学规定”的教学，可以通过精心设计学习情境，让学生感受“数学规定”的必要性、有效性、系统性和延展性，促进学生对“数学规定”的深度理解，从而发展学生的数学核心素养。

下面，以苏教版小学数学四年级下册《用数对确定位置》一课为例，谈一谈笔者对“数学规定”的理解和教学实践。

一、“不以规矩，不能成方圆”——感受“数学规定”的必要性

荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为，学生的数学学习是一个有指导的“再发现”和“再创造”过程。对于“数学规定”的教学，我们必须让学生在学习过程中充分意识到“数学规定”的必要性和合理性。因此在教学中，教师要创设适当的情境，引发学生的认知冲突与矛盾，引导学生经历“再探索”“再发现”和“再创造”的过程，让学生产生“数学规定”的需要，体会“数学规定”的必要性、合理性和数学的精确之美。

本节课伊始，笔者创设了一个“帮助小女孩寻找孙悟空真身”的情境：会分身术的孙悟空变出了35个假身，和自己的真身混在一起（如图1）。请学生根据数字“3”，指出孙悟空真身的位置。为了便于学生观察，把每个孙悟空都看作一个小圆圈，让学生在学习单上圈画，然后全班交流分享，总结得到20个位置（如图2）。接着引导学生讨论：为什么这20个位置都能和数字“3”联系起来？在此基础上，让学生明确“竖排叫作列，横排叫作行”，分别认识从左往右数和从右往左数的第3列，以及从上往下数和从下往上数的第3行。这样，明确列和行的意义，就成为学生学习的一种自然需要。

根据一个数字“3”，不能确定孙悟空真身的位置，那该怎么办？学生会要求再给一个数字，笔者顺势增添数字“5”。学生根据这两个数，再次在学习单上圈画，全班交流分享，总结得到8种可能（如图3）。此时，学生自动开始了“公说公有理，婆说婆有理”的辩论。笔者向学生发问：怎么给了两个数字还有8种不同位置，而且同一个位置还有不同的解释？为什么会出现这种情况？到底怎么办？引导学生思考、商讨问题的症结，感悟：光有两个数字还不行，还必须有一个统一的规定，即明确列和行的顺序以及列数和数行计数的方向。

上述教学过程中，笔者引导学生经历从20种可能到8种可能，直至唯一可能的探究过程，使学生切实感受到了“数学规定”的必要性。

二、“树树皆秋色，山山唯落晖”——体现“数学规定”的有效性

“数学规定”是前人智慧的结晶，都有其内在的道理。英国数学家阿蒂亚说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而寓于最簡单的例子、最原始的定义以及最初的一些结果。对于“数学规定”的教学，教师既要遵循分散安排、由易到难、螺旋上升的认知规律，也要从学生已有的认知水平出发，立足整体，力求在不断完善中逐步达成阶段目标，从而让学生深刻理解“数学规定”的意图和作用——有效性。

在本节课的练习部分，笔者设计了如下三个环节：

（一）用数对表示教室中各人的位置

本节课中，列和行的顺序是按观察者的角度来确定的，这也是一种“数学规定”。对此，笔者引导学生深化理解：“今天，同学们的表现很突出，老师特别欣赏第1列的同学，请第1列的同学都站起来。”此时，第1列和第8列（一共8列座位）的学生，有的站起来了;有的站起来又立即坐下去了;还有的反复站起来、坐下去好几次，不知如何是好。在一些学生手足无措时，笔者引导学生回到主题图上来，明确一开始要解决的问题是什么，哪一列才是第1列。学生自然地说出：确定位置时，一定要站在观察者的角度来数列和行。这样的“规定”就是学生自发、自然的内在需求，而非教师或课本的外在灌输。有了这些相对精准指代的完整规定，学生就能很快地确定教室中各人的位置，进而体会“数学规定”的作用。

（二）用数对表示生活中物体的位置

教学中，当学生理解和掌握了用数对表示位置的方法后，笔者引导学生将目光转向现实生活，让学生感受生活中数对的价值：出示学校食堂墙上的瓷砖图案（如图4），先让学生用数对表示出两块有图案的瓷砖的位置，再让学生找出表示同一列或同一行瓷砖位置的数对的特点，最后总结用数对确定位置的方法。教师根据学生的回答板书，完成相应坐标图。在此基础上，组织学生到生活中寻找体现“用数对确定位置”这一数学模型的典型事例，如棋盘、表格和地球仪等，并用今天所学的知识加以解释。这样，让学生在丰富的素材中，把握数学知识内在的统一性和结构性，更好地体会数对的魅力。

（三）用数对表示图形中物体的位置

引导学生从生活中发现数学是教学的第一步，从中抽象出数学规律和本质才是教学的重难点所在。解决了生活中的数对问题后，笔者出示了更加抽象的数对问题（如图5），引导学生先独立完成，再进行三个层次的比较：（1）本题与上一题的比较。上一题中物体的位置“行列相交在线”上，本题中物体的位置“两线相交在点”上，意在初步培养学生思维的灵活性和严密性。（2）本题中两小题的比较。第1小题是已知行列顺序确定物体位置，第2小题是已知物体位置逆推行列顺序。而且，第2小题行和列的顺序与第1小题并不相同，意在让学生初步感受第0行与第0列的合理性，并巧妙渗透原点的含义，初步感悟平面直角坐标系的原型。（3）三道题的整体比较。无论是确定教室内、生活中，还是确定平面图中物体的位置，三道题目使用的方法是相同的，意在让学生感受用数对确定位置方法的普适性和唯一性，稳固建立数对与物体位置之间的一一对应关系，以获得对数对相关知识的精确认知与深度理解。

三、“道生一，一生二，二生三，三生万物”——体现“数学规定”的系统性和延展性

数学知识之间存在内在的逻辑关联。这就要求数学教师跳出课堂看课堂，从更大的视野、更广阔的空间来设计教学：把一节课的内容置于整个知识体系中来审视、考察，做到既“瞻前”又“顾后”，即不仅逆向关注学生已学的知识，寻找与当前知识的联系，而且预留生长线索，为后续的数学学习提供铺垫，从而不断扩展数学知识的长度、宽度、深度和厚度，体现数学知识之间的内在联系，帮助学生建构层次分明、相互联系、灵活开放、具有生长扩张力的认知结构。

为此，在本节课的回顾反思环节，笔者这样引导学生比较、推想，感受“数学规定”的系统性和延展性：今天我们所学的“用数对确定位置”和以前学过的确定位置有什么相同点和不同点？学生生发体悟：在一行或一列（即一维空间）中，根据“一个数”和“方向”就能确定位置;而在一个平面（即二维空间）中，根据“两个数”（即行数和列数）和“方向”才能确定位置。无论是哪种方法，都要站在观察者的角度来解决问题。从而打通新旧知识之间的内在联系。

教学不止于此，笔者继续演绎课始的“寻找孙悟空真身”情境：同学们找到孙悟空的真身了，但是孙悟空的本领可大了，他又使用“隐身术”钻进了由27个小方块组成的魔方（如图6）中，你能确定他的位置吗？引导学生推想并说出理由，初步感知空间坐标系。这样的教学，抓住了数学知识的生长点和延伸点，渗透以点（位置）与数（数对、数组）对应为内核的坐标思想，让学生真切地感受到“數学规定”动态统一、有机关联的特点。

“数学规定”的源头并不枯燥、神秘，而是为了满足人们有序、有效思考和生活实践的需要。数学教学中，教师要坚持用情和理的“双筒镜”聚焦教学内容，把理性化“数学规定”重新激活，实现数学学科知识与学生已有经验、成长需要的有机嫁接，让学生“知其然”，并尽力溯源“知其所以然”;理性看待“数学规定”，有情感地应用“数学规定”，进而审视、理解其他现存的规定，成为面向未来的一代新人。

*本文系江苏省教育科学“十二五”规划课题“国语·国学·国民——现代国民素养教育实践探索研究”（编号：B-b/2011/02/138）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 林崇德.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[2] 史宁中.数学思想概论（第5辑）：自然界中的数学模型[M].长春：东北师范大学出版社，2012.

[3] 郭元祥.课堂教学改革的基础与方向：兼论深度教学[J].教育研究与实验，2015（6）.

[4] 马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015（9）.