例谈初中生数学运算能力的培养

杭毅 石树伟

摘要：基于2018年江苏省义务教育学生学业质量监测中主要考查数学运算能力的10个小题及6个师生问卷题的监测结果，对初中生数学运算能力的培养提出教学建议：关注算理、算法教学，正确地运算;关注过程性教学，合理地运算;关注数学思想方法，简洁地运算。

关键词：学业质量监测数学运算算理算法

数学运算能力是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的能力。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。数学运算能力具体表现在两个方面：一是对法则和運算律等认识清晰，根据具体题目的特殊性正确选择法则和运算律;二是合理、简洁设计程序，正确、迅速完成运算，通过运算解决问题。数学运算能力从高到低可以分为A、B、C、D四个水平。

数学运算能力 是数学关键能力的构成要素，是解决数学问题的基本手段，是演绎推理，是计算机解决问题的基础。良好的数学运算能力有助于学生寻求合理、简洁的运算途径，解决问题;通过运算促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

“正确、灵活、合理和简洁”是衡量数学运算能力的四个主要特征。纵观《义务教育数学课程标准（2011年版）》中三个学段数学运算能力所要达到的具体目标，可以看出数学运算能力的要求有三个层次，依次为“了解与理解”“掌握与应用”“综合与评价”;再深入理解、细化具体，可以发现这三个层次的要求恰好体现为“正确地运算”“合理地运算”“简洁地运算”。正确是对运算能力的最基本要求。数学概念、公式、法则、定理是进行数学运算的依据，数学运算的实质就是根据这些运算的依据，从已知数据及算式中推导出结果。合理是运算能力的核心，表现在运算要符合算理。简而言之，在进行运算时，无论采用什么样的形式，首先必须理解算理;只有理解了运算中的道理，才能理解和掌握运算方法，才能正确、迅速地运算。运算的简洁性是指在运算过程中，所选的运算路径短、运算步骤少、运算时间省。换言之，在保证运算的正确性、理解算理之后，要力求做到分析运算条件，探索运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算更加简洁。

2018年江苏省义务教育学生学业质量监测中，共设计了10个小题（下文提到的每一道试题都是其中之一，用具有明确含义的字母与数字组合进行编号——其中的“M”指数学，“8”指年级，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客观题，“S”代表主观题，后三个数中前两个代表题号，最后一个代表小题号）主要用以考查学生的数学运算能力。本文根据全省46262名八年级学生的测试成绩、问卷调查以及4573名数学教师的问卷调查得到的数据分析，对初中生数学运算能力的培养提出相应的教学建议。

一、关注算理、算法教学，正确地运算

数学运算离不开“算理”“算法”“算力”这三个本质概念。算理是运算的道理，即解决为什么能这样算的问题;算法是运算的方法，即解决怎样算的问题;算力是运算的能力，即具体落实运算过程，实现运算目标。它们相辅相成，构成一个运算的整体。在教学过程中，教师应当加强学生对算理、算法的理解。

本次监测的调查问卷中，我们设置了关于师生“解方程（组）和不等式（组）时，让学生（老师让我们）明白运算的算理（依据）”的问题，结果有3%的教师选择“有时”，1%的教师选择“很少”;3%的学生选择“很少”，2%的学生选择“从不”。

本次测试中，我们设计了5道试题主要用以测试学生“对法则和运算律等有清晰的认识，根据具体题目的特殊性正确选择法则和运算律”这一数学运算能力具体表现的水平状况，从一定意义上反映出学生对算理、算法的理解。

试题M8BO011计算（-2）3的结果是（）

A. 6B. -6C. 8D. -8

本题要求学生能运用乘方的概念、运算法则进行运算。本次测试中，本题的得分率为87.3%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为94.3%、89.4%、75.8%和31.7%。可见，多数学生能够理解（-2）3的意义。但是，还有6.7%的学生选择“8”，4.6%的学生选择“-6”，1.5%的学生选择“6”，说明有约13%的学生还不能正确理解乘方的概念和运算法则。

乘方在小学阶段只是初步了解，重点知识还是在初中阶段学习的。因此在教学中，不仅要让学生掌握“求n个相同因数乘积的运算叫作乘方”“乘方是一个三级运算”，还应该引导学生灵活地理解乘方与乘法之间的关系及乘方表示的简洁性，了解其合理性与必要性，在理解算理的基础上概括运算方法，同时加强对运算符号法则的理解与运用。

试题M8AS081计算12×3的结果是。

本题要求学生能运用二次根式运算法则进行简单运算。本次测试中，本题的得分率为77%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为91.9%、78.5%、47.3%和11.0%。访谈结果表明，多数学生都是把12和3相乘得到36（或者把12拆成4×3等），发现结果等于6的，并且知道36是算术平方根，不能等于±6。但是，仍有6.4%的学生得到±6，说明这部分学生对平方根与算术平方根之间的区别与联系不清楚;有3.8%的学生得到36，说明这部分学生不清楚36所表示的意义及如何进行二次根式的化简;有11.7%的学生得出其他答案。

这表明，在二次根式运算的教学中，应该引导学生分析每步运算的算理、算法，明确其合理性与必要性;类比整数幂的运算学习二次根式运算，因为它们在算理与算法上是相通的。同时，在平时的教学中，需要多关注学力薄弱学生对基础知识的理解与训练，加强概念区别与联系的教学。

二、关注过程性教学，合理地运算

运算教学要关注运算的过程，从而帮助学生学会合理运算：不能用不断的训练来代替理解的过程，不能用大量的重复来代替反思的过程，不能一味地追求运算的熟练程度和技巧;而应强化数学基础知识的形成过程，强化数学基本思想的领悟过程，强化数学基本活动经验的积累过程，强化数学运算能力的养成过程，从而让学生真正感悟到数学运算的合理性。

本次监测的调查问卷中，我们设置了关于师生“教学（学习整式）运算法则时，引导学生（老师让我们）了解法则的由来（形成过程）”的问题，结果有4%的教师选择“有时”，1%的教师选择“很少”;4%的学生选择“很少”，2%的学生选择“从不”。这反映出仍然有部分教师在运算公式、法则的教学中存在着“重结果、轻过程”的灌输现象。

试题M8BS131解方程：x-12=x+3。

本题主要用来测试学生“合理、简洁设计程序，正确、迅速完成运算，通过运算解决问题”这一数学运算能力具体表现的水平状况。本次测试中，本题的得分率为84%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为97.6%、91.0%、40.9%和4.6%。

经过统计，（1）仅第一步去分母正确，其余步骤均错误的学生占0.6%，如：x-1=2（x+3），x-1=2x+3。（2）到移项正确，但去括号错误或到去括号正确，但移项错误的学生占1.8%，如：x-1=2（x+3），x-1-2（x+3）=0，x-1-2x+6=0;或x-1=2（x+3），x-1=2x+6，x-2x=6-1。（3）能正确化为ax=b的形式，但最后一步将系数化为1时出错的学生占1.4%，如：x-1=2（x+3），x-1=2x+6，x-2x=6+1，-x=7，x=7。（4）虽然写了一些解答过程，但是没有正确步骤的学生占9.5%，如：2（x-1）2=x2+32。

以上问题体现出，教师在教学过程中过分强调解一元一次方程的步骤，使学生只是按照老师要求的规定步骤进行运算，套用解题模式，或跟着感觉走，但不理解具体的算理、算法，不理解每步运算的依据。比如，去括号时直接将括号去掉，移项时直接将某一项从方程的一边移到另一边，系数化为1时直接将系数化掉或不注意符号等。

因此在教学中，教师要强化每一步运算的合理性，让学生清晰地了解每一步运算的目的、依据及注意事项。比如，解一元一次方程，第一步为何要去分母？依据是什么？分数线有何作用？不去分母可不可以？去分母时为何要添加括号？之后为何要去括号？括号的作用是什么？去括号的依据又是什么？等等。同时，要引导学生灵活地运用等式的基本性质，多变地解一元一次方程，而不应过分强化五个具体步骤。另外，还要培养学生及时检验、纠错的习惯。

三、关注数学思想方法，简洁地运算

数学运算过程中蕴含着丰富的数学思想方法，灵活运用数学思想方法可以简化运算。首先，数学运算过程是以数学概念、法则、公式、定理等知识为依据进行推理，建立数量关系并转化为确定数量的过程，这一过程中蕴含着推理的思想以及由推理的思想具体化得到的转化思想。其次，这种运算对象的形式转化本质上是数学模型之间的转化，是一種模型转化为另一种模型的过程，其中蕴含着模型思想;数学运算过程是对数量关系抽象的符号形式进行加工的过程，其中蕴含着抽象思想。此外，在具体的转化过程中，还会进一步用到诸如数形结合、分类讨论等经典的思想方法。因此，数学运算教学要关注运算的思想方法，让学生学会简洁地运算。

试题M8AS141解方程组：x-2y=3，

2x-5y=3。①

②

本题主要用来测试“合理、简洁设计程序，正确、迅速完成运算，通过运算解决问题”这一数学运算能力具体表现的水平状况。本次测试中，本题的得分率为78.1%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为97.0%、81.3%、31.3%和2.9%。

经过统计，（1）有0.7%的学生只写一个正确答案，没有任何解题步骤。（2）有5.2%的学生能将方程①或②变形正确，但其他过程错误，如：①×2得2x-4y=6③，③-②得9y=3，y=13;或②-①得x-3y=0，故x=1，

y=3。（3）有9.9%的学生将两个未知数的值都计算出来了，但不能正确表达方程组解的形式，如：x=9，y=3;x=9，

y=-3;x=9，

y=3或x=3，

y=9。（4）有9.9%的学生套用刚学习的解一元二次方程的格式书写;或一开始运算就出现错误，如：①+②得3x+7y=6，或②-①得x-7y=0。（5）有14.1%的学生利用代入消元法求解。（6）有54.1%的学生利加减消元法求解。（7）也有学生通过消去常数项的方法求解。

学生在计算过程中出现运算符号错误的情况较多，主要原因还是不能正确运用运算法则，不理解等式的基本性质。在教学中，应该引导学生了解数学学习都是遵循化复杂为简单、由特殊到一般的规律的;强调二元一次方程组、三元一次方程组乃至多元方程组求解的指导思想是消元，化高元为低元，从而加强对消元思想方法的理解。如何消元？可以通过一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程，消去一个未知数;可以通过将两个方程相加（或相减），消去两个方程中系数互为相反数（或相同）的项;也可以消去常数项，寻找两个未知数之间的关系。

总之，数学运算能力是运算技能与推理能力的结合。因此，要能正确、快速地算出结果，就要善于观察算式的结构特点，学会选择合理的运算路径。学生掌握了数学运算的各种解题思路、方法后，还要化繁为简，以简驭繁，从而感受数学运算过程中的乐趣，自然而然地培养数学运算能力。

本文系江苏省教育厅“基于测试分析的跟进式改革重大研究项目”中“义务教育学科核心素养和关键能力研究”（编号：2015jyktzd02）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 杭毅，侯正永.基于质量监测的初中学生数学运算发展状况的调查研究[J].数学教育学报，2017（1）.

[2] 洪建章.从“有理数运算”话运算能力核心素养的培养[J].数学教学通讯（中旬），2019（3）.

[3] 李敏，吴晓红，高银.浅析运算能力的内涵[J].数学学习与研究，2014（7）.