例谈初中生数学建模能力的培养

李贺 张卫明

编者按根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》，可以提出数学关键能力的基本成分：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。在2018年江苏省义务教育阶段学生学业质量监测中，董林伟老师带领的课题组尝试在测试题目及师生问卷中加入测量、调查6个数学关键能力的元素，得到的大样本数据在一定程度上反映了江苏省八年级学生数学关键能力的发展状况。他们还针对测试结果反映出来的问题，力图提出一些初中生数学关键能力培养的可行性建议。本期《本刊特稿》栏目承接上一期，刊发李贺等老师的4篇研究文章。

摘要：基于2018年江苏省义务教育学生学业质量监测中主要考查数学建模能力的9个小题及6个师生问卷题的监测结果，对初中生数学建模能力的培养提出教学建议：在“做数学”的过程中体验数学模型建构;以阅读能力提升促进数学建模能力发展;有学生思维参与和感悟的概念教学是培养数学建模能力的起点。

关键词：学业质量监测数学建模做数学阅读能力概念数学

数学建模能力是指对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的能力。主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题等环节。数学建模能力具体表现在三个方面：一是在实际情境中从数学的视角发现问题，用数学语言表达问题;二是在实际情境中发现和提出问题，针对问题建立数学模型;三是运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型，最终解决实际问题。数学建模能力从高到低可以分为A、B、C、D四个水平。

数学建模能力是数学关键能力的構成要素，是联系数学世界与现实世界的基本桥梁，是将数学的知识、方法和思想应用于数学之外，解决实际问题的基本通道，体现了数学的应用意识与创新意识。

2018年江苏省义务教育学生学业质量监测中，共设计了9个小题（下文提到的每一道试题都是其中之一，用具有明确含义的字母与数字组合进行编号——其中的“M”指数学，“8”指年级，“A”代表A卷，“B”代表B卷，“O”代表客观题，“S”代表主观题，后三个数中前两个代表题号，最后一个代表小题号）主要用以考查学生的数学建模能力。分析样本数据，我们发现，江苏省八年级学生的数学建模能力总体发展不平衡，两极分化现象比较突出，对生活情境的抽象能力、对文本的阅读理解能力、建立函数模型（关系）的能力、解方程（组）的能力亟待提高。本文根据全省46262名八年级学生的测试成绩、问卷调查以及4573名数学教师的问卷调查得到的数据分析，对初中生数学建模能力的培养提出相应的教学建议。

一、在“做数学”的过程中体验数学模型建构

数学建模是解决实际问题的过程，就是一个“做数学”的过程。美国数学家哈尔莫斯（P.R.Halmos）指出：“学习数学的唯一方法是做数学。”《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“要让学生亲历数学知识的形成过程。”只有通过亲身感受、自我探索获得的知识，才会根深蒂固地扎根在自己的脑海中。因此，数学教学要联系学生的生活实际，让学生在现实情境中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，增强学习动力，让学生通过积极思考、实践操作、大胆猜测、小心求证、自主探索、合作交流等方式来学习数学——我们称之为“做数学”。事实上，只有让学生亲身经历数学建模的全过程，才能更好地渗透模型思想。

试题M8AS151从2017年9月21日起，全国铁路实施新的列车运行图，京沪高铁同步提速。记者从北京铁路局获悉，提速后，平均速度每小时快60 km，全程需4 h，比提速前缩短1 h。提速后，平均每小时行驶多少千米？

本题借助于建立一元一次方程来测量学生“在实际情境中发现和提出问题，针对问题建立数学模型”这一数学建模能力具体表现的水平状况。本次测试中，本题的得分率为65.2%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为94.0%、50.9%、11.8%和2.8%。

本题是一个典型的行程问题，涉及的量有提速前的速度、提速前的时间、提速后的速度、提速后的时间，等量关系是提速前后的路程相等。题目没有直接给出这些量的具体值，只给出了提速前后的速度差、时间差以及提速后的时间。这就需要学生用未知量去表示数量关系，进而用数学符号语言去建立等式。

结合实测数据分析与30人访谈结果，本题失分的原因有以下几个方面：（1）分析不出因为速度变化，导致时间变化，但是路程不变的等量关系;（2）列方程时，对等号两边各个量的意义不明确，导致列的相等关系不成立;（3）计算能力不强，导致解方程出错;（4）对“路程一定的条件下，速度增加，时间减少”这样的生活常识不清楚，导致列式子时速度与时间不对应，等式不成立。

针对以上数学建模障碍，教师应意识到，数学建模来源于生活实际，又应用于生活实际。方程（组）模型的教学必须让学生经历两个方面的活动：一是从不同的问题情境中识别出存在的等量关系，并用恰当的方程（组）表达;二是针对给定的方程（组），给出符合其等量关系的实际背景。教师要引导学生从身边的实际问题出发研究方程（组），可以通过学生的描述、演示、实验等活动，让学生感受抽象的问题背景。如行程问题的数学，教师可以组织学生表演题目中的情境，或者用几何画板制作质点运动动画，让学生充分感受变化的量之间的关系，进而寻求、建立等量关系。在教学中，注意联系身边的事物，让学生经历问题产生的过程，体验“做数学”的过程，感受成功的喜悦，这对激发学生的数学学习兴趣、培养学生的数学应用意识、提升学生解决实际问题的信心是非常重要的。

二、以阅读能力提升促进数学建模能力发展

数学建模问题经常有大段的文字叙述。从文字叙述中提炼出基本的数学骨架是对学生数学建模能力的考量。面对内容各异的问题情境，数学建模能力强的学生能顺畅利用数学符号、图形等语言表示所发现的数量关系或数学规律，抽象出情境中的数学本质。但是，由于数学阅读材料的文字叙述较长、内容更加贴近生活、数量关系分散隐蔽，导致许多学生读不懂题目，不知道从何下手。因此，强化阅读理解能力的培养，使学生“数学”地阅读、理解材料，是提升学生数学建模能力的前提。苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学也就是数学语言的教学。”因此，从语言学习的角度讲，数学教学还必须重视数学阅读。

试题M8AS182如图1，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字。它是由前12位数字和校验码构成的，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码和校验码”。

其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性的。它的编制是按照特定的算法得来的。其算法为：

步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a=9+1+3+5+7+9=34;

步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b=6+0+2+4+6+8=26;

步骤3：计算3a与b的和c，即c=3×34+26=128;

步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d=130;

步骤5：计算d与c的差，就是校验码X，即X=130-128=2。

请解答下列问题：

（2）如图2，条形码中被污染的两个数字的和是5，则这两个数字从左到右分别是、。

本题借助于建立方程和不等式来测量学生“在实际情境中发现和提出问题，针对问题建立数学模型”这一数学建模能力具体表现的水平状况。本次测试中，本题的得分率为37.7%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为56.3%、21.9%、14.8%和6.8%。

结合实测数据分析与30人访谈结果，本题失分的原因有以下几个方面：（1）对商品条形码这一名词比较陌生，对解决步骤复杂的阅读理解题缺乏信心;（2）漏读信息，抓不住文本中的关键词，导致不理解题意，不知道要解決什么问题;（3）不能将复杂的文字语言“取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d”转化为数学符号语言;（4）不能将抽象的未知量与阅读内容结合，找到等量关系。

考查数学建模能力的题目始于阅读理解，终于“双基”计算。强化阅读理解能力的培养，可以从以下几个方面着手：

1.激发学生数学阅读的兴趣，提高学生阅读理解的信心。教师在日常教学中，可以开发一些与学生生活息息相关的题目，引导学生观察生活，挖掘生活中的数学素材，对常见的专有名词（如利率、利润、保险费、折旧、纳税等）解释透彻。

2.鼓励学生“读进去，说出来”。教学中，让学生阅读题目后， 通过分析思考，说出题目所提供的信息条件、事情过程。可以让学生剖析字句，说题目条件;也可以让学生通读全题，说题目要素;还可以让学生形成解题思路后，说解题步骤。

3.保证学生课堂学习的主体地位，激发学生课堂参与的积极性和主动性，促进学生的想象力和创造性，让学生勇于表达，善于思考。这样，学生才能解放思想、充分交流，才能顺利地阅读和理解数学文本，才能用口头或书面的形式向他人解释自己对数学的理解和研究成果，才能成功地吸收他人的心得，从而迅速地提升自己的认识。

三、有学生思维参与和感悟的概念教学是培养数学建模能力的起点

数学教学的根本目的是促进学生发展，教师以自然而然、水到渠成的知识发展过程为载体，设计学生的数学活动过程，使学生的数学思维充分展开，深度参与到数学知识的探究中，才能使学生达到对数学概念、原理和思想、方法的实质性理解，运用数学知识解决实际问题的能力才能得到落实。学生只有经历概念的形成过程，才能利用概念解释各种变化的现象，构建合适的数学模型解决问题。

试题M8AS173小明计划购买一双运动鞋，在购物网站上浏览，看到如表1所示的男鞋尺码对照表。

中码CHN220225230…250255260…美码USA4.555.5…7.588.5…（3）若美码（y）与中码（x）之间满足一次函数关系，请求出这个函数表达式：。

本题借助于建立一次函数表示数量关系和变化规律来测量学生“在实际情境中发现和提出问题，针对问题建立数学模型”这一数学建模能力具体表现的水平状况。本次测试中，本题的得分率为62.3%，数学总体能力处于A、B、C、D四个水平的学生在此题上的得分率分别为92.9%、47.0%、3.2%和0%。

结合实测数据分析与30人访谈结果，本题失分的原因有以下几个方面：（1）读不懂表格所表达的意思;（2）不理解表格中的数据与要建立的一次函数之间的关系;（3）不理解函数概念中x、y两个变量之间的关系;（4）混淆自变量、因变量，求得结果为x=10y+175;（5）在用待定系数法求解的过程中，解二元一次方程组出现错误。

由常量数学到变量数学，是数学思维的一次飞跃。函数概念的教学，可以参考以下几点建议：

1.从丰富多彩的实际背景入手，通过填表、列式的方式了解常量、变量的意义和变量之间关系的共同特征，从中认识和理解函数的意义，在此基础上抽象出函数的概念。具体到正比例函数、一次函数模型中，面对每一个实际背景，教师都要引导学生说出自变量、因变量、常量，感受变量关系。

2.根据教材编写意图和学生学习实际，让学生举出函数实例，从中挖掘思维过程，并通过“你为什么说……？”“你是怎么想的……？”等问题，促进学生深化思考，理解对应关系。在大量实例的基础上，逐步培养学生利用概念解释数学对象的习惯与能力。

3.给学生充分的时间，让学生充分联系头脑中已有的认知结构与新学的知识，把对概念实质的概括机会留给学生，引发学生对概念的理解。

本文系江苏省教育厅“基于测试分析的跟进式改革重大研究项目”中“义务教育学科核心素养和关键能力研究”（编号：2015jyktzd02）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 董林伟，喻平.基于学业水平质量监测的初中生数学核心素养发展状况调查[J].数学教育学报，2017（1）.

[2] 马复.初中数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版社，2010.

[3] 章建跃.章建跃数学教育随想录[M].杭州：浙江教育出版社，2017.教育研究与评论中学教育教学/2019年第8期本刊特稿