有关x与ex,lnx的组合函数的探究与分析

赵陇陇

摘 要：近些年来高考数学的内容发生了变化，变得原来越灵活。有关x与的组合函数问题成为近年高考命题的“常青树”，常考的组合函数的形式有四个，分别为xex，，有时还把组合函数中的一次函数换成二次函数等，此类考题一般位于解答题中压轴题位置，难度一般为中高档。本文主要就选取近几年高考压轴题进行分析和探讨。

关键词：高考函数;导数;组合函数

一、引言

函数部分在高考数学中扮演很重要的角色。一：函数的题量是最大的，无论客观题还是主观题;第二：函数穿插于其他的考查内容中，例如三角函数、数列部分都有与之相关的函数内容的考查;第三：解答函数题目时所用到的解题方法和策略，例如：数形结合与分类讨论的思想都是学好数学必须要掌握的基本思想。函数问题一直是数学高考中的热点和重点问题，而高考命题遵循考试大纲和教学大纲，体现“基础知识全面考，主干知识重点考，热点知识反复考，冷点知识有时考”的原则，因此，函数问题一直是备受关注的课题。

由于函数本身具有较强的抽象性，高考总复习的过程中，指导学生复习函数部分掌握有效的要领和方法还是比较困难的一件事。

二、组合函数是一类特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着高考，隨着对学生能力的不断要求，考查的频率是越来越高，难度也有所提高。有关x与的组合函数问题成为近年高考命题的“常青树”，常考的组合函数的形式有四个，分别为xex，，lnx，下面就选取近些年高考压轴题进行分析和探讨。

（Ⅱ）【分析1】寻找难点：处理不等式恒成立问题，转化为函数的最值是基本思路，但此题困难在于导函数太复杂，复杂的原因在于exlnx既有指数式，又有对数式，对函数进行处理显得非常必要，但无论怎么变形，放在一个函数中其导数都是无法处理的。

【分析2】尝试突破：正是基于上述难点的分析，尝试证明“一个函数的最小值大于另一个函数的最大值”这个极强的命题，把exlnx分开，得到两个常见的函数，尝试证明一个函数的最小值大于另一个函数的最大值。

记住一些常见函数的最值

都用e来表示，我们很容易进行改编，比如有，变形得：

首先，针对exlnx难于处理，两边同时除以指数函数ex，得，对所证式子结构的观察，与常用不等式的联系ex>ex，找打了问题的突破口。在变形的过程中随时对式子结构进行观察，联想与之相关的结论，这应该是一种思维习惯。苏霍姆林斯基说思维培养最好的方式是“一边思考、一边观察，在观察中思考、在思考中观察。”此题给出了观察和思考的对象。观察不仅限于较复杂的代数式之间，与常数的联系常常也是重要的突破口。分别在未变形之前和变形之后，对式子进行观察发现了不同的结构，那在其它变形中是否也蕴含着一些有价值的结构，再来观察，如果把xlnx中的x变成e-x，得到，惊讶地发现两个形式大相径庭的式子只是同一个函数在不同代数式下的函数值。在此题中，相同的结构得到再一次拓展。指对数运算法则及互逆性，使得整式的乘积结构变为分式结构，含指数式可以变为含对数式。考试中心给出的参考答案之一是：

三、结语

世间万物看似差别极大的东西，有可能受着同一个简单法则支配。阿兰图灵使用了一个在天文学和原子物理学中很常见的一种数学方程式来描述生命的过程，描述了一个生物系统的自我组织的过程，这解释了即使简单的，毫无自然界事物特性的东西也可以演绎出栩栩如生的东西。自然界充满了生长、发展和混乱，其中到处都是离奇的形状和杂乱的斑点，自然界的图案从来都不会固定不变，从来都不会重复，阿兰图灵告诉我们这一切看上去混乱的现象都受到数学方程式的影响，事实上，他们完全被数学规则所支配。

参考文献

[1]高慧明.中学数学研究[J]华南师范大学数学学报.2014

[2]刘祥民.高考函数命题的变化与专题复习的新观念.数学通讯[J]2003（11）