运用数学建模思想解决物理问题

罗明华

建模思想广泛应用于物理教学，特别是一些习题的处理上，我们经常会根据题目思想建立物理模型，然后结合相关的数学知识，应用数学模型解决物理问题。其中极值问题在物理教学中是常见的一类问题，对于此类问题，如果能把一些数学模型应用到物理中去，处理此类问题往往能达到事半功倍的效果。

在求解极值过程中实际物理过程与数学知识相结合，充分发挥数学的作用，进行数学建模，求解数学极值，从而转化为物理问题的极值。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程，对物理规律或物理概念的描述提供了最简洁、最准确的表达方式，而且在内容上能表述得深刻、精确、简捷。

求解数学极值问题，中学物理通常涉及到的主要数学知识有：点到直线的距离最短、基本不等式法、二次函数求极值的方法、三角函数的知识等。下面本人来谈谈将数学如何结合到物理问题中去。解题思路如下：

物理问题→建立物理模型→结合数学模型→推理演算数学模型→得出物理问题的解

一、点到直线的距离最短与物理问题的结合

有关涉及位移、速度、加速度、力等矢量的问题，可运用矢量合成与分解的平行四边形定则建立由表示已知量与未知量的矢量构成的矢量三角形，运用三角形的知识进行求解与分析。

例1：如图1所示，用细绳悬AB吊一质量为m的物体，现在AB中的某点O处再结一细绳用力F拉细绳，使细绳的AO部分偏离竖直方向的夹角为θ后保持不动，则F的最小值是多少？

分析与求解：以O点为研究对象，则它在AO绳的拉力FAO，BO的拉力FBO=mg，拉力F三个力的作用下处于静止状态，因此，这三个力相互平衡。这样，表示这三个力的矢量，首尾相接应该组成一个封闭三角形。由于绳BO对O点的拉力FBO=mg恒定不变，绳AO对O點的拉力方向不变。所以，当F方向变化时，由图1可以看出，当F方向与AO垂直时，F最小，F=mgsinθ

二、均值不等式在解决物理问题中的应用

所谓不等式模型，就是根据题意或解题要求，就所求量和题中已知量建立起不等关系式，通过不等式的求解和分析，完成物理问题的求解。

如果a，b为正数，那么有： ，当且仅当a=b时，上式取“=”号。推论：①两个正数的积一定时，两数相等时，其和最小。②两个正数的和一定时，两数相等时，其积最大。

例2：在电视节目中我们常常能看到一种精彩的水上运动——滑水板，如图2所示.运动员在快艇的水平牵引力作用下，脚踏倾斜滑板在水上匀速滑行，设滑板是光滑的.若运动员与滑板的总质量为m=70 kg，滑板的总面积为S=0.12 m2，水的密度为ρ=1.0×103 kg/m3.理论研究表明：当滑板与水平方向的夹角（板前端抬起的角度）为θ时，水对板的作用力大小为N=ρSv2sin2θ，方向垂直于板面.式中v为快艇的牵引速度，S为滑板的滑水面积，求为了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牵引滑板的最小速度。

解析：选取滑板和运动员作为研究对象，对其受力分析如图3所示，滑板和运动员共受三个力的作用，即：重力G，水对滑板的弹力FN（方向与滑板板面垂直）及绳子对运动员的拉力F。

由物体的平衡条件可得： ，

又由题中所给的理论模型： ，

可得： 由式中可知：快艇的最小速度只由θ决定。

令 ，则有：

由基本不等式可得：

当且仅当 ，即 时，y有最大值： 。快艇最小速度的表达式为： 代入数据，得：

三、利用二次函数规律求物理极值的问题

把二次函数y=ax2+bx+c配方得 ，若a>0，则当 时，y有极小值： ；若a<0时，则当当 时，y有极大值： 。如果一个物理问题能建立y=ax2+bx+c的数学模型，就可以用上述方法求出其极值。

例3：如图所示为某种弹射小球的游戏装置，水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直管AB.细管下端接有一小段长度不计的圆滑弯管，上端B与四分之一圆弧弯管BC相接，每次弹射前，推动小球将弹簧压缩到同一位置后锁定。解除锁定，小球即被弹簧弹出，水平射进细管A端，再沿管ABC从C端水平射出。已知弯管BC的半径R=0.30m，小球的质量为m=50g，当调节竖直细管AB的长度L至L0=0.90m时，发现小球恰好能过管口C端。不计小球运动过程中的机械能损失。

（1）求每次弹射时弹簧对小球所做的功W；

（2）当L取多大时，小球落至水平面的位置离直管AB最远？

（1）当L0=0.9.m时，小球恰好能过管口C端，则VC=0，

根据A到C应用动能定理：W-mg（L0+R）=0，则W=mg（L0+R）=0.6J

（2）调节L到某值时，离开C点的速度为VC，到水平而与AB最远。

根据A到C应用动能定理得：W-mg（L+R）=1/2mVC2

设小球水平抛出距离为X，则X=Vct，R+L=1/2gt2

解出 的表达式。

再根据数学抛物线的方程公式，当L=-b/2a时，X取得最大值，得出当L=0.3m时，X取得最大值。最后结果为X+0.3，因为X为C点到落地点的水平距离，落地点到AB的距离还要再加R。