“挖洞”类型题的一题多解

李远梅

摘 要：本文针对第二类曲线积分“挖洞”难题的计算，分别提出了三种方法：格林公式法、直接法、全微分法。特别是全微分法，摒弃格林公式应用条件的束缚，从一全新的角度解决第二类曲线积分的挖洞难题。

关键词：第二类曲线积分;格林公式;挖洞难题;全微分法

在计算第二类曲线积分时，往往要注意应用格林公式的条件，条件不够要创造条件，如曲线不封闭，要添加带方向性的辅助线。当所围区域有一阶偏导数不连续的点时，需要挖去。传统的做法是挖洞，构造复连通区域，再进行计算。但是往往“挖洞”具有技巧性，是挖“圆洞”还是“椭圆洞”，还是其他洞呢，这是一个值得思考的问题。不同的题有不同的方法，本文针对这类问题，找到了一个全新解决此类题的方法——全微分法。

事实证明，采用全微分方法不用考虑“挖洞”是挖什么类型的洞，同时也得出了格林公式不是解决此类问题的唯一方法。同时发现：“挖洞”类型题有一个共同点，即被积函数化简之后只是关于参数的微分或者都是。这样为我们什么时候使用全微分法计算第二类曲线积分提供了理论依据。

參考文献：

[1]高等数学.第七版下册.同济大学数学系编.高等教育出版社2014.7

[2]高等数学.第七版上册.同济大学数学系编.高等教育出版社2014.7