基于间隙浮动的行星齿轮传动系统静态均载特性分析

董 皓，刘志宇，张建文

(西安工业大学 机电工程学院，陕西 西安 710021)

0 引言

行星轮系优点诸多[1]，被广泛应用于航空发动机、船舶主推进系统、车辆传动装置以及直升机主减速器等装置中。目前，国内外学者分别从理论和实验两个方面对行星齿轮传动系统的均载问题做了大量研究。Kahraman和Ligata[2-3]等通过静力学理论模型和实验对行星齿轮传动系统的均载问题进行了研究；Boguski和Nishino[4]提出一种新的方法用以测量行星齿轮传动系统的均载特性和太阳轮的浮动轨迹；Montestruc[5-6]通过数值方法计算了行星齿轮传动系统的均载模型，分析了各误差因素对均载特性的影响；周璐[7]通过建立动力学均载分析模型，研究了误差对行星传动系统均载特性影响；朱增宝[8]分析了支撑刚度对行星传动系统动态均载特性的影响；陆俊华[9]从动力学角度建立2K-H型行星传动系统的计算模型，研究了系统的均载特性；杜进辅[10]等提出一种基于变形协调条件的行星轮系静态均载特性分析方法。还有一些学者对功率分流的均载力学特性进行了大量的研究[11-15]

本文以应用于风电行业的六行星轮齿轮传动系统为研究对象，从静力学角度分析了该系统的均载特性。根据功率流动闭环特点，建立考虑制造、偏心误差、间隙浮动和径向浮动的系统整体变形协调条件。运用当量啮合误差理论，结合力矩平衡条件，建立了考虑各影响因素的静态均载力学模型。通过引入轮齿承载接触仿真分析方法，计算了模型中各齿轮副的时变啮合刚度。分析各误差对均载系数的影响，研究花键间隙浮动和径向浮动对系统均载特性的影响。

1 力学平衡方程建立

图1是行星齿轮传动系统的运动简图[9]。其中，输入扭矩T1(输入转速ns)经太阳轮Zs分流给i个行星轮ZPi(i=1,2,…,6)，行星轮ZPi与内齿圈Zr进行啮合，将输出功率经行星轮ZPi汇流到行星架C上，由与行星架C固联的输出轴进行输出，输出扭矩为Tout，输出转速为nc。建立如图2所示的静力学平衡关系模型，设定系统输入扭矩T1(输入转速ns)为逆时针方向旋转，太阳轮S对各行星轮Pi(i=1,2,…,6)的作用扭矩为Tspi，各行星轮Pi对太阳轮S的反作用扭矩为Tpis，各行星轮Pi和内齿圈r的作用扭矩和反作用扭矩分别为Tpir和Trpi，规定主动扭矩为正，负载扭矩为负；Kspi表示太阳轮和行星轮Pi之间的等效轮齿啮合刚度；Kpir表示行星轮Pi和内齿圈r之间的等效轮齿啮合刚度；Ks和Kr分别表示太阳轮和内齿轮支承处的等效弹性支撑刚度；rbs、rbp和rbr分别表示太阳轮、行星轮和内齿圈的基圆半径；Ks和Kr表示太阳轮和内齿圈的弹性支撑刚度。

图1 2K-H行星传动系统的运动简图
Fig.1 Kinematic sketch of 2K-H planetary transmission

图2 静力学平衡关系示意图
Fig.2 A diagram of static equilibrium relationship

得到静力学扭矩平衡条件为

(1)

式中，i=1,2,…,6，Tij(k)(ij=spi、pir)表示在一个啮合周期中被动轮j对主齿轮i在第k(k=1,2,…,5)个啮合位置扭矩。

图3表示了系统各齿轮的扭转角关系。

图3 各齿轮扭转角关系示意图
Fig.3 Schematic diagram of the relationship between the torsion angle of the gear

图3中，Δφpi表示各行星轮Pi的扭转角；Δφs表示太阳轮S的扭转角；Δφr表示内齿圈r的扭转角；Δφspi表示太阳轮在扭矩作用下相对于行星轮Pi的扭转角变形；Δφpir表示行星轮Pi在扭矩作用下相对于内齿圈的扭转角变形，啮合转角满足

(2)

由于Δφspi和Δφpir分别是Tspi(k)和Tpir(k)的函数，将i(i=1,2,…,6)个行星轮啮合传动误差换算为相对于太阳轮S的当量啮合误差，可得

Δφi=Δφspi[Tspi(k)]+(rbp/rbs)Δφpir[Tspi(k)]=

Δφs-(rbr/rbs)Δφr。

(3)

由于Δφ1=Δφi(i=2,3,…,6)，可以得到基于功率流动闭环特性的系统扭转角变形协调条件为

Δφsp1[Tsp1(k)]+(rbp/rbs)Δφp1r[Tsp1(k)]=

Δφspi[Tspi(k)]+(rbp/rbs)Δφpir[Tspi(k)]。

(4)

2 当量啮合误差和均载系数计算

(5)

(6)

2.1 误差引起的累积综合啮合误差

制造误差E和安装误差A的方向角以β和γ表示[9]，引起的角位移误差可由

(7)

表示，其中，由太阳轮制造误差Es引起的角位移φEsi，太阳轮轴承制造误差Ebs引起的角位移φEbsi，第i个行星轮的制造误差Epi引起的内啮合角位移φEpir和外啮合角位移φEspi，第i个行星轮联接轴轴承的制造误差Ebpi引起的内啮合角位移φEbpir和外啮合角位移φEbspi，行星架制造误差Ec引起的角位移φEci，内齿圈制造误差Er引起的角位移φEri。

由太阳轮安装误差As引起的角位移φAsi，第i个行星轮的安装误差Api引起的内啮合角位移φApir和外啮合角位移φAspi，内齿圈安装误差Ar引起的角位移φAri，可以分别表示为

(8)

其中，ωs、ωpi和ωr分别为太阳轮、星轮和内齿轮的角速度；αw和αn分别表示外啮合齿轮传动与内啮合齿轮传动的啮合角；φi为第i个行星轮相对于第1个行星轮的位置角，φi=2π(i-1)/6。

将式(7)和(8)的误差分别等效转换为太阳轮和行星轮spi以及行星轮与内齿圈pir的内外啮合线上，形成当量啮合误差，并逐次分别叠加，得累积当量啮合误差φspi和φpir为[14]

(9)

设太阳轮、内齿圈沿x、y向的轴心浮动位移量分别为xs、ys、xr、yr，则浮动构件引起的角位移φsi与φri分别为

(10)

式(11)中，Wi和Ni分别如图1所示的角度关系，Wi表示太阳轮与第i个行星轮啮合线的方位角，Wi=ωct+π/2-αw+φi，Ni表示第i个行星轮与内齿圈啮合线的方位角，Ni=ωct+π/2+αn+φi。

(11)

将式(6)和式(11)代入式(5)，得各齿轮副啮合传动误差Δφspi[Tspi(k)]和Δφpir[Tpir(k)]为

(12)

将式(12)带入到式(4)可以得到当量啮合误差因素影响下的系统完整变形协调条件为

(13)

2.2 花键间隙浮动平衡条件

太阳轮浮动过程中，受到6个与之相啮合的行星轮的啮合力Tspi以及花键联接轴的支承反力的共同作用。由于内外花键之间存在径向间隙，如果太阳轮受力不均衡，会产生径向的微移动，直至受力趋于均衡，而太阳轮受花键轴的约束不能完全自由浮动。

在花键传递扭矩的过程中，内、外花键摩擦力为Fm，Fm=τFN，FN表示内外花键之间的正压力，τ为摩擦系数，内、外花键的径向间隙量L=S2-S1。太阳轮在一个啮合周期中，产生的浮动量为

(14)

式中，xs和ys表示在x和y方向的浮动量。

当支承反力小于摩擦力Fm时，内、外花键之间不产生滑移，在满足系统强度要求的条件下，由花键轴的弯曲变形适应太阳轮的位置变化，当支承反力大于摩擦力Fm时，内、外花键之间产生滑移，由滑移量适应太阳轮的位置变化，当内、外花键消除了径向间隙时，重新由花键轴的弯曲变形适应太阳轮的位置变化，因此，太阳轮的支承反力在x、y向的分量引起的平衡方程可以表示为[15]

(15)

式中，花键轴的弯曲刚度Kw=EIz，E为弹性模量，Iz为花键轴的惯性矩；ξs表示向量xs、ys的方向角。

将式(15)联立其它各构件的支承平衡条件和力矩平衡条件以及变形协调条件，建立间隙非线性数学模型，可以求解得到系统的均载系数。

2.3 均载系数求解

考虑太阳轮花键间隙浮动和内齿圈径向弹性浮动引起的静力平衡，得到平衡方程

(16)

联立式(1)、式(13)和式(16)，可以求出各齿轮副的传递扭矩Tspi(k)和Tpir(k)，从而求得各行星轮的均载系数为Jpi=Tspi(k)/(T1/6)，系统的均载系数为J=(Jpi)max，均载系数的大小表征着系统的均载特性的好坏，均载系数越大，系统均载特性越差。

3 均载特性的影响分析

系统各参数如表1所示。其中，给定输入转速ns=85.9 r/min，输入功率为82.18 kW，太阳轮和内齿圈的支撑刚度为Kr=9.42×109N/m。各误差值均取3 μm。给定内外花键摩擦系数τ=0.1，内外花键之间的正压力FN=1.14×105N，花键轴的支撑弯曲刚度为Kw=9.16×1010N/m。

表1 各齿轮的主要参数数据Tab.1 Main parameters of the gear data

根据文献[13-15]，利用LTCA仿真分析方法计算得到时变啮合刚度曲线如图4所示，太阳轮和行星轮spi的啮合刚度在1.391×109N/m处波动，行星轮和内齿圈pir的啮合刚度在1.533×109N/m处波动。

3.1 误差因素对均载特性的影响

制造误差和安装误差作用时的系统均载系数如图5所示，此处，行星轮的制造误差和安装误差为各行星轮内外啮合各误差因素的叠加。

图4 各齿轮副时变啮合刚度
Fig.4 The time varying meshing stiffness of each gear pair

计算得到Es、Epi和Er影响的均载系数分别为1.132 6、1.090 7和1.132 6，As、Api和Ar影响的均载系数分别为1.132 6、1.085 2和1.132 6。Es、Epi、Er、As和Ar影响的均载系数呈周期性变化，Api和Ec影响的均载系数随时间为固定值。太阳轮和内齿圈的制造和安装误差影响下的系统均载系数为1.132 6，两者峰值一样，制造误差的影响频率高于安装误差，行星轮的制造误差比安装误差影响的均载系数值略大。

图5 制造误差和安装误差单独作用时的系统均载系数
Fig.5 Load sharing coefficient of system when manufacturing error and installation error are acted separately

以制造误差Es、Epi、Er和Ec为例，给出各主要制造误差单独变化时的均载系数，如图6所示。

图6 各主要制造误差单独变化时系统均载系数
Fig.6 System load-sharing coefficient when each major error changes individually

随着各构件误差值的增大，系统均载系数均变大，其中太阳轮和内齿圈的制造误差影响最大，行星架影响次之，行星轮的影响较小。

3.2 浮动因素对均载特性的影响

以给定Ep2=3 μm为例，计算了花键间隙量从0 mm到0.2 mm对应的系统均载系数如图7所示。

图7 不同花键间隙量影响的系统均载系数
Fig.7 Load coefficient of system with different spline clearance

在间隙量分别为0.0 mm、0.04 mm、0.1 mm和0.2 mm时，计算得到系统的均载系数分别为1.379 6、1.315 7、1.219 8和1.094 9。间隙量为0.2 mm时，达到浮动条件。在不满足完全浮动之前，系统均载系数的变化随时间呈非线性变化，当随着间隙量的增大，达到完全浮动时，即内外花键的滑移量适应太阳轮的位置变化，均载系数又呈周期性变化，整体均载特性有所改善。

图8给出了Ep2在误差0 μm、3 μm、6 μm和10 μm下时各行星齿轮均载系数随花键间隙量变化的情况,可以看出，随着间隙量的增大，均载系数逐渐减小，最终达到均载。给定误差Ep2下的行星轮2的均载系数影响最大。花键间隙量为0 mm时，完全由轴的弯曲适应浮动轮的位置变化。随着误差的增大，系统达到均载时所需的花键间隙量也增大。给定几组误差下最终达到均载时的系统均载系数分别为1.063 32、1.126 6和1.316 1。

图8 均载系数随间隙量变化
Fig.8 Load coefficient changed with spline clearance

当给定制造误差和安装误差共同作用时，误差量均为3 μm，得到均载结果如图9所示，同时给出太阳轮和内齿圈浮动对系统载荷分配的影响，此时，给定内齿圈的弹性浮动支撑刚度为Kr=9.42×106N/m，给定太阳轮浮动时的花键间隙量为0.3 mm。

由图9可以看出，当误差共同作用时，不浮动条件下，各行星轮i(i=1,2,…,6)上的均载系数分别为1.334 1、1.456 0、1.356 5、1.259 8、1.123 3、1.187 5，得到系统的均载系数为1.456 0。三种浮动状态下(如图(b)、(c)、(d)所示)的均载系数分别为1.023 6，1.018 7，1.012 0，内齿圈单独完全浮动下要比太阳轮单独完全浮动对均载特性的改善效果好。

图9 误差共同作用下的浮动均载系数
Fig.9 Floating load-sharing coefficient under the common effect of error

4 结论

1) 通过引入齿轮承载接触仿真方法，真实地反应了各啮合位置的均载力学情况。推导了系统的变形协调条件，从本质上反映了由构件弹性变形导致的均载问题。

2) 均载系数随系统各误差呈周期性变化，太阳轮和内齿圈的制造误差影响频率较安装误差大；随着各构件误差值的增大，系统均载系数均变大，其中太阳轮和内齿圈的制造误差影响最大，行星架影响次之，行星轮的影响较小；

3) 当存在花键间隙时，系统均载系数随时间变化呈非线性变化，当花键间隙量增大到一定程度时，均载系数又呈周期性变化。随着间隙量的增大，均载系数逐渐减小，最终达到均载，给定误差Ep2下的行星轮2的均载系数影响最大。

4) 太阳轮间隙浮动和内齿圈径向浮动能有效改善系统的均载特性，太阳轮和内齿圈同时浮动的效果更好，单独浮动情况下，内齿圈的浮动效果要好。