科普展品“柏拉图方体”的设计与实现

井大喜

摘要：近期，蚌埠市科学技术馆光学展区扩建展品，其中新设计并制作一套光学展品“柏拉图方体”，介绍了展品“柏拉图方体”的原理、结构设计与实现。

关键词：科普展品;柏拉图方体;光学展品;结构设计

中图分类号：G315

文献标识码：A

DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2019.11.055

1 概述

在约2 400年前，希腊哲学家及数学家柏拉图已发现，用等边形（如正三角形、正方形、正五边形等）所组成的正多面体只有五种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。这五个立体也因此统称为柏拉图方体（ Platonic Polyhedra），柏拉图方体如图1所示。

2 展品“柏拉圖方体”的制作原理

2.1 柏拉图方体为什么只有五个

2.2 柏拉图方体展品的设计思路

根据平面镜成像原理，物体在平面镜里成的是虚像，像距与物距大小相等，它们的连线跟镜面垂直，它们到镜面的距离相等，上下相同，左右相反。平面镜成像的特点之一是反射角等于入射角，平面镜成像原理如图2所示。

柏拉图方体非常对称，只需要一面镜子穿过方体的对称轴，半个方体加上它本身的镜像便可重新形成整个方体。如果取出方体的一个面，即正n边形（称其为母面），将其每条边按一定角度装上等腰三角形平面镜，形成一个由平面镜组合而成的有n条棱边的锥体（镜井），则与每条边相邻的镜中都会形成一个母面的像，且又会生成像的像。只要这个平面镜组合与母面每个边的夹角符合一定的规律，就可以在平面镜组合中形成一个完整的正多面体即柏拉图方体。所以，我们根据平面镜成像原理，只要所取方体的母面的每条边都与平面镜接触，且母面与平面镜的夹角为柏拉图方体的相邻两面角φ的50%，就可以在镜内形成整个方体的形状。

2.3 计算柏拉图方体相邻的两个面的空间夹角φ

我们可以通过三角函数的计算得出每个柏拉图方体相邻的两个面的空间夹角φ，如表2所示，这里不进行详细推导，但相邻的两个面的空间夹角φ是制作的柏拉图方体的关键参数。

3 展品“柏拉图方体”主要制作过程

3.1 制作柏拉图方体的一个面

我们可以通过数控雕刻机很容易做出有机玻璃的镂空正三角形、正方形、正五边形，作为母面（也是形成柏拉图方体的唯一实像）。

3.2 制作平面镜组合

这是制作柏拉图方体非常关键和重要的一步。只要我们制作的平面镜组合中的每一面镜子都与已制作好柏拉图方体的一个面的夹角为柏拉图方体相邻的两个面的空间夹角φ的50%时，根据平面镜成像原理，这个面与其在平面镜中的成像的夹角就是柏拉图方体相邻的两个面的空间夹角，这样在镜子内部空间就可形成整个柏拉图方体的镜像，当然只有事先制作好柏拉图方体的一个面即母面是实物。

我们以制作好的柏拉图方体的一个面为正三角形举例，放置角度如图3所示.

面ABC为平面镜组合中的一面镜子，面DEF为正三角形（即母面），面DEF是母面DEF在镜ABC中的像，面DEF与面DEF'的夹角就是柏拉图方体相邻的两个面的空间夹角φ，镜ABC与面DEF的夹角为φ/2，已知线段AB与线段CG长度，求出线段CH长度，通过计算就可得到面ABC（平面镜组合中单个等腰三角形）中∠ACB（等腰三角形的顶角）的大小。各柏拉图方体平面镜组合中等腰三角形的顶角如表3所示。接下来，我们只要把做好的每面等腰三角形平面镜按表3提供的数量缝对缝地粘制成“镜井”，把制作好柏拉图方体的一个面（正三角形、正方形、正五边形）放入“镜井”内，向窗口内“镜井”观察，就能看到柏拉图方体在“镜井”内形成。

4 总结

4.1 镜面材料的选择

平面镜的材料可以采用镜面不锈钢，我们可用机械加工的办法加工镜面不锈钢，保证制作的平面镜的角度精度。另外，一般的玻璃平面镜镀层一般在玻璃后面，由于玻璃的厚度影响，物体成像容易产生重影，影响成像效果。采用镜面不锈钢可有效避免重影的产生。

4.2 展品的表现形式

展品的表现形式可多种，不仅可采用柜式，还可采用台式，并可把所有柏拉图方体组合在一个台面。还可以采用互动的形式，让观众亲自动手往“镜井”内放柏拉图方体的一个面（正三角形、正方形、正五边形），体验各种形式的各种镜像。