《导数的综合应用》教学设计

肖奋勇

摘 要 本节的主要内容是利用导数求单调区间，极值，恒成立问题，证明不等式问题。

关键词 利用导数求恒成立问题，证明不等式问题。

中图分类号：G32                                                        文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2019）12-0171-01

一、复习目标

（一）解决恒成立的方法。

（二）证明不等式的方法。

（三）零点问题的解法。

二、教学重、难点

重点：利用导数求恒成立问题，证明不等式问题。源：学

难点：恒成立问题中参数范围问题

三、教学过程设计

问题一 利用导数研究恒成立問题

设计意图巩固恒成立问题的方法

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a≥0）.

（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值;

（2）若f（x）<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.

[规律/方法]利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：

（1）已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解;

（2）如果无法分离参数可以考虑对参数a或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解.

（3）已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立的问题.

变式训练

1.已知函数f（x）=e^x+ax²-e²x.

（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线平行于x轴，求函数f（x）的单调区间;

（2）若x>0时，总有f（x）>-e²x，求实数a的取值范围.

问题二 利用导数证明不等式问题

设计意图 使学生巩固导数证明不等式的方法

已知f（x）=lnx-x+a+1.

（1）若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范围;

（2）求证：当x>1时，在（1）的条件下，x²+ax-a>xlnx+成立.

师生活动 学生总结方法，教师补充 构造函数证明不等式的方法

（1）对于（或可化为）左右两边结构相同的不等式，构造函数f（x），使原不等式成为形如f（a）>f（b）的形式.

（2）对形如f（x）>g（x）的不等式，构造函数F（x）=f（x）-g（x）.

（3）对于（或可化为）f（x₁，x₂）≥A的不等式，可选x₁（或x₂）为主元，构造函数f（x，x₂）（或f（x₁，x））.

变式训练2.已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax²+bx-1.

（1）当a=0且b=1时，证明：对?x>0，f（x）≤g（x）;

（2）若b=2，且h（x）=f（x）-g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围.

问题三 利用导数研究方程的根（或函数的零点）

设计意图使学生巩固利用导数研究方程根的方法

已知f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx.

（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性;

（2）若方程f（x）=g（x）在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围.

[规律方法]利用导数研究方程根的方法

研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

变式训练3.已知函数f（x）=（2-a）x-2（1+lnx）+a.

（1）当a=1时，求f（x）的单调区间;[来源：Z*xx*k.Com]

（2）若函数f（x）在区间上无零点，求a的最小值.

师生活动 教师板书小组讨论，代表回答，教师纠正。

四、本节小结 证明不等式的方法

（1）对于（或可化为）左右两边结构相同的不等式，构造函数f（x），使原不等式成為形如f（a）>f（b）的形式.

（2）对形如f（x）>g（x）的不等式，构造函数F（x）=f（x）-g（x）.

（3）对于（或可化为）f（x₁，x₂）≥A的不等式，可选x₁（或x₂）为主元，构造函数f（x，x₂）（或f（x₁，x））.