一种带落角约束的三维精确制导律

蔡勇

(北京机电工程总体设计部，北京 100854)

0 引言

在导弹制导中，由于比例导引制导律形式简单且性能优良而得到广泛应用。比例导引制导律主要目标是零化脱靶量，由于一些交战场景中对导弹弹道末端落角约束有要求，所以还衍生了各种制导律以满足该需求[1-2]。

文献[3-7]对导弹动力学模型进行线性化建模，利用线性二次型优化理论设计了带终端落角约束的导引律，由于其需要准确估计剩余飞行时间信息，而实际应用中该信息往往无法准确估计，从而影响制导精度。文献[8]提出了偏置比例导引律，其在经典的比例导引基础上添加时变偏置项，可适用于一系列对弹道末端打击角度有要求的交战场景。文献[9-10]提出了圆制导律，可满足全向攻击要求，并且不需要提供弹目距离信息和剩余飞行时间信息，但导弹需从始至终飞圆弧弹道，总飞行时间较长，且落点需用过载较大，导致末端攻角较大，影响战斗部穿透效果。文献[11]基于逆动态理论，利用三阶Bezier曲线近似方法设计了可以满足落角约束和速度约束的制导律。文献[12]提出了一种新落角控制制导律(impact angle control navigation guidance law，IACNG)，不需要提供弹目距离信息和剩余飞行时间，且在弹道末端指令加速度为0，相应指令攻角为0，可有效提高战斗部侵彻效果，但其仅针对二维理想平面的交战情形进行了设计，并不能直接应用于三维交战场景，且制导律中增益参数的变化对拦截效果影响较大，需对不同末端约束设计相应的增益值。文献[13]提出了一种三维比例导引制导律，在经典比例导引基础上，利用四元数理论推导速度倾角三维旋转角矢量代替角度约束项中角度差，由于其基础导引律为固定增益比例导引，所以只能满足90°以内落角约束，且需要估计剩余飞行时间信息，导致该方法使用范围有限。文献[14]提出了一种针对机动目标的可满足落角约束的三维制导律，利用几何关系将三维角度约束转换成二维角度约束，但其同样需要估计剩余飞行时间信息，当其估计精度较低时，将降低该制导律效能。

本文在文献[12]介绍的二维制导律思想的基础上，基于三维交战平面，设计了全向攻击制导律，并参考文献[13]，利用四元数理论推导引入弹目视线角三维旋转角矢量进行补偿，使得固定增益参数既可满足全向攻击要求，且可零化脱靶量。该制导律不需要提供弹目距离信息和剩余飞行时间信息，且为三维形式，适用于主动寻的制导和被动寻的制导。

1 三维全向攻击制导律

1.1 问题提出

首先建立三维交战场景。如图1所示，Oxyz为发射坐标系，T为目标点，为固定目标，在发射系位置矢量为PT；M为导弹，速度矢量为vM，在发射系位置矢量为PM。f为要求的三维空间打击落角约束单位矢量。在文献[12]二维交战场景基础上，建立三维空间交战平面，如图1,2所示：以T为原点，弹目相对位置矢量r和f所在平面定义为三维交战平面，定义坐标系ORxRyRzR，ORxRyR在该交战平面内，ORyR正向与f相反，ORxR正向与ORyR垂直且指向前，根据右手定则确定ORzR。

图1 三维交战场景Fig.1 Three-dimensional engagement geometry

图2 交战平面和坐标系Fig.2 Engagement plane and coordinate system

定义导弹M在坐标系ORxRyRzR下的速度倾角为γD，向上为正;γT为方位角，俯视逆时针为正。ξ为ORxRyR平面内视线角，r在ORyR轴分量为负则该角为负。

由于r=PT-PM，则坐标系ORxRyRzR三轴单位矢量为

(1)

则发射系到坐标系ORxRyRzR转换矩阵为

(2)

式中：下标x,y,z表示在发射系3个轴的分量。则弹目相对速度矢量在坐标系ORxRyRzR表达为

(3)

则

(4)

矢量r在坐标系ORxRyRzR表达为

(5)

在坐标系ORxRyRzR视线角表达为

ξ= arctan 2(rRy/rRx).

(6)

1.2 制导律设计

首先作如下假设：

(1) 导弹和目标均为质点；

(2) 导弹速率为常值；

(3) 导弹自动驾驶仪和导引头测量均无延迟环节;

(4) 不考虑重力。

则在该交战平面内，相对运动方程为

(7)

在该平面内，终端约束条件为视线角和速度倾角均为-90°，要求导弹接近目标时，2个角度应同时满足该约束。设Δt为导弹碰撞目标前的一个极小时间间隔，相应的导弹速度矢量在碰撞平面旋转了ΔγD角度，则此时视线角旋转了Δξ，则有

(8)

由于

(9)

参考文献[12]中二维制导律，则在该碰撞平面内指令加速度为

(10)

视线角变化率计算如下

(11)

(12)

垂直于该交战平面的导引律，使用经典比例导引制导律[1]，加速度指令为

(13)

则发射系三维加速度指令表达式为

(14)

式(14)将文献[12]二维制导律推广到三维空间，方便使用。但由于该方法中增益参数取值对导引结果影响较大，若增益选取不合适，可能造成制导律发散。在实际工程应用中，需要根据不同条件设置不同的增益，需进行大量调试设计工作。本文在上述三维制导律基础上，利用四元数理论，求解弹目距视线矢量r到末端约束矢量f的旋转轴矢量和旋转角大小，将其作为补偿项，具体推导过程如下。

在发射系定义新的视线系，如图3所示。OS1xS1向与r矢量重合，OS1yS1向与OS1xS1向垂直，且OS1yS1在r与过M且与Oy平行的矢量组成的平面内，OS1zS1按右手定则确定，相应的视线角定义如式(15)所示。

图3 视线系Fig.3 Line of sight coordinate system

(15)

则发射系到视线系按2-3-1转序可得到转换矩阵

(16)

式中：Rx,Ry,Rz分别为绕x轴、y轴和z轴的旋转矩阵。则发射系到该视线系的旋转四元数为

(17)

定义末端约束矢量坐标系OFxFyFzF，方法同上，如图4所示。

图4 末端矢量坐标系Fig.4 Terminal impact angle vector coordinate system

则由发射系到末端约束矢量坐标系的旋转四元数为

(18)

根据四元数理论[15]可知，

(19)

QsF(f)=QfF(f)∘Qsf(f),

(20)

(21)

则

(22)

从而可得该旋转四元数在发射系表达式为

(23)

则旋转角和旋转矢量[13]为

(24)

则发射系指令加速度最终表达式为

aC=a1C+K(λσ).

(25)

2 仿真校验

本节通过数值仿真检验上述制导律的有效性，并选取文献[9]中圆制导律(CNG)进行对比。表1列出了所有仿真参数取值，其中末端约束矢量f按俯仰和方位角取值，选取了7种组合进行仿真。

表1 仿真参数Table 1 Simulation parameters

弹道仿真结果如图5,6所示，分别为Oyz平面弹道投影和三维空间弹道，原点为目标点。表2统计了仿真结果，可见末端脱靶量和速度倾角误差均较小，满足全向攻击要求。图7表明弹道末端法向加速度接近0，表明末端所需指令攻角接近0，有利于战斗部侵彻。

选取文献[9]中提出的圆制导方法，进行仿真对比，圆制导律为

aC=NΩ×vM-K1(vM0-v10),

(26)

式中：Ω为视线转率矢量;vM0为导弹速度矢量单位矢量;v10为指令速度矢量，由弹目相对关系和末端角度约束计算得到。

图5 Oyz平面弹道Fig.5 Oyz plane trajectories

图6 三维空间弹道(本文制导方法)Fig.6 Three-dimensional trajectories using the proposed guidance law

仿真参数如表3所示，表4为仿真结果，可见不考虑导弹延迟情况下，虽然圆制导脱靶量也较小，但末端速度倾角与落角要求值在部分约束条件下相差较大，全程飞行时间比本文方法长，且组合6情况出现了脱靶。图8表示圆制导全程需要的法向过载，与图7相比可见，虽然圆制导律在大部分飞行过程中需要过载比本文制导方法小，但在弹道末端，需要过载会突然增大而不是收敛到0，这会影响战斗部侵彻效果。

表2 本文制导律仿真结果Table 2 Simulation results using the proposed guidance law

表3 圆制导律仿真参数Table 3 CNG simulation parameters

图7 时间-法向过载变化Fig.7 Time-normal overload

图8 时间-法向过载变化Fig.8 Time-normal overload

表4 圆制导仿真结果Table 4 CNG simulation results

3 结束语

本文将二维落角控制制导律(IACNG)扩展到三维交战场景中，并利用四元数理论推导添加三维旋转角矢量补偿项，设计了一种三维全向攻击制导律。理想状态下，可同时满足零化脱靶量和三维全向落角约束，且弹道末端需要过载接近零，对应的攻角接近0，可保障战斗部侵彻效果；对一个交战场景使用固定增益参数即可满足全向攻击要求。该方法不需要提供弹目距离信息和剩余飞行时间信息，适用于主动寻的制导和被动寻的制导。