计算特征值问题的QR算法的收敛性分析

王丽

摘要：本文研究的是计算特征值问题的QR算法的收敛性分析。介绍了基本QR算法和带原点位移的QR算法计算矩阵特征值问题的一般步骤，并且对其收敛性进行了分析。通过数值实验，对基本QR算法及带两种不同位移的QR算法的收敛速度进行对比分析。结果显示，基本QR算法的实际收敛速度与理论收敛速度基本一致，带位移的QR算法的收敛速度会有明显改善，带不同位移的QR算法的改进效果不同。

关键词：矩阵特征值 QR算法 收敛性 数值实验

一、引言

矩阵特征值问题的应用十分广泛，各个方面都有它的身影。在数学方面，可以利用矩阵特征值问题来解决类似非线性规划和常微分方程等各种数学计算问题;在工程上，可以利用其来解决类似自动控制、结构设计以及振动系统等相关的各类问题;在科学上，如一些力学方面的研究、统计计算、化学工程等等实际问题的计算也需要用到矩阵的特征值;此外，矩阵特征值在几何、概率、物理学、经济学、天文、信息论等各个方面，以及管理科学、社会科学等各个领域也有广泛的应用，很多实际问题的求解往往最终都会转化为矩阵特征值问题。本文将介绍计算特征值问题的基本QR算法及其改进算法。

由上图可以看出，基本QR算法的实际收敛曲线与理论收敛曲线重叠，收敛性基本一致，都可以近似为线性收敛。

（二）带位移的QR算法数值实验

由前面的章节可知，引入一个具体的位移可以明显的加快收敛速度，减少迭代次数，并且选取不同的位移，会产生不同的收敛效果。在这一部分，将会验证带Rayleigh商位移的QR算法与带Wilkinson位移的QR算法同原算法相比，收敛速度是否有所改善，并利用Matlab软件作出几种算法的收敛曲线进行对比分析，结果如下。

由图2带Rayleigh商位移的QR算法收敛曲线可以看出，带Rayleigh商位移的QR算法收敛，并且为渐近平方阶收敛，符合理论结果。由图3带Wilkinson位移的QR算法收敛曲线可以看出，带Wilkinson位移的QR算法也是收敛的，收敛速度为渐近立方阶收敛。

由图4基本QR算法与改进算法的收敛曲线对比图，可以很明显的看出，带位移的QR算法的收敛速度明显快于基本的QR算法，即位移起到了加速效果。并且，两种不同的位移加速效果也是不同的，其中带Rayleigh商位移的QR算法的收敛速度较之原算法有明显的提高，而带Wilkinson位移的QR算法比带Rayleigh商位移的QR算法要收敛的更快，加速效果更好。

由图4基本QR算法与改进算法的收敛曲线对比图还可得看出，在取精度为10^-2时，基本QR算法求出矩阵A的一个特征值需要迭代27次，带Rayleigh商位移的QR算法迭代4次可求出一个特征值，而带Wilkinson位移的QR算法仅需迭代3次即可求出一个特征值。因此，当选取合适的精度时，最快可以近似的达到每迭代一次求出一个特征值。这样，整个算法的计算量就减小了。

五、结语

目前，矩陣特征值问题的应用越发广泛，各个领域中都有其身影。随着科技的发展，矩阵的特征值问题将被研究的更加透彻，计算矩阵特征值的算法也将发展的更为高效，能够极大地减少运算量和运算时间。