指数化投资的风险和收益分析：以Put Write指数为例

●李江颖

期权交易已成为许多投资人投资的衍生金融产品之一。与股票交易模式不同，运用期权杠杆以求取得以小搏大的收益或者利用期权作为避险工具已成为热门投资策略。就芝加哥期权交易所的策略产品而言，包括CBOE S&P 500 Iron（BFLY），CBOE S&P 500 Buy Write Index（BXM），CBOE S&P 500 30-delta Buy Write Index （BXMD），CBOE S&P 500 Covered Combo Index （CMBO），CBOE S&P 500 Iron C ondor Index （CNDR），CBOE S&P 500 Put Write Index（PUT）等等，它们都是通过现货或货币市场持有资产与期权搭配的投资组合策略，大多数有比S&P 500指数本身更高的超额收益。

在芝加哥期权交易所的期权策略商品的研究报告中（Performance Analysis of CBOE S&P 500 Options-Selling Index），介绍了六种运用担任看涨期权或看跌期权买卖方所组合出来的策略组合。Put Write指数比其他五种期权组合策略的表现都要高，也就是说有较高的风险调整之后的收益。本文聚焦于CBOE S&P 500 Put WriteIndex（PUT）产品，通过自行重组该策略，并将风险分为三个方面来分析：被动权益风险、波动卖方风险与动态权益风险，通过这三项的拆分来分析Put Write指数的风险和收益之间的关系，研究这种期权策略在拆分不同风险因素下的收益贡献关系。

一、文献综述

（一）Put Write指数交易策略的研究

Put Write指数交易策略的做法，是卖出一个以S&P 500作为标的资产且到期期限为一个月的价平看跌期权，并同时买进三个月的短期美国国库券。此产品由于担任看跌期权的卖方，当股票市场稳定且没有衰退时，可以保留全额的权利金；而在到期日当现货指数比执行价格低时，看跌期权卖方的最大损失即为执行价格与当时标的现货指数的差。

换而言之，当股票市场表现好时，则Put Write指数策略的收益至多仅为收到权利金的部分；当股票市场表现差时，此策略的投资人则承担了权益市场中的下方风险。不过由于此策略中担任了期权的卖方角色，故相较于纯粹投资在股票市场的表现，可以多收到波动风险溢价而表现较好。此Put Write指数策略，实际产品的设计为完全质押的方法，也就是表示当看跌期权卖出的执行价格为多少，就投入多少在买进三个月短期国库券上。

（二）期权与标的资产策略组合的研究

通常在含有期权与标的资产的策略组合中，把风险暴露拆分为两项，一是权益风险溢价，二是波动风险溢价。例如：Israelov 和 Nielsen（2014）即探讨了保护性看涨期权策略，分别在权益买方与波动卖方下的两项风险暴露的关系。考虑到策略中含有期权，而期权每天改变的delta值也会影响到整个策略组合风险。在波动风险内还包含另一个风险暴露项：即动态权益风险，即市场择时的风险暴露拆分出来。通过此项的运用，利用现货指数随着delta变动而作动态调整，分析每个不同的风险因素对收益的贡献程度。

（三）期权策略组合收益的比较研究

过去的文献比较了许多期权策略组合与S&P 500或其他现货基准本身表现的关系。Ungar和Moran（2009）说明了Put Write指数策略在1986年至2008年期间，有着比S&P 500高的年华收益，同时也有比它低的波动，而且在熊市期间的表现也相同。Bondarenko（2016）进而比较在2015年发行的CBOE S&P 500 One-Week Put Write Index（WPUT）能够比Put Write指数有更高的超额收益。Bakshi和Kapadia（2003）发现了作为期权买方的策略组合中，利用delta避险所得到的收益显著低于零，相对而言，即表示了期权卖方可以得到波动风险溢价，且在价平期权中最为显著。而Israelov和Nielsen（2014）则指出当隐含波动度与实现波动度有较大差异时，与Put Write同为期权卖方策略的保护性看涨期权是个好的交易策略，因为它除了能够享有权益风险溢价外，还能得到作为看涨期权卖方下比较大的波动风险溢价。

（四）风险暴露因素的研究

除了常见的单纯以权益风险和波动风险两种风险暴露因素作为期权策略组合的收益分析之外，Figelman（2008）将历史绩效都比标的资产高的保护性看涨期权拆分为三种风险因素，分别为：无风险收益、权益风险溢价和看涨期权的波动风险溢价，做其策略组合的收益研究，并发现在隐含波动率比实现波动度差异越大时，波动风险溢价越能弥补负的风险溢价，尤其以到期日较短的保护性看涨期权更为明显。Israelov和Nielsen（2015）则是将期权策略组合中的波动风险暴露项又拆分出动态权益风险暴露项，发现动态权益风险暴露项不论在价平或是2%的价外的保护性看涨期权中，都是其主要的风险来源，并对于想要得到越高的波动风险溢价的投资人给予卖出更多期权的建议。

二、研究方法

透过Put Write指数背后的组成成分，自行重组该策略组合，并根据被动权益风险暴露、波动卖方风险暴露、动态权益风险暴露，以收益的方式，探讨各项风险因素对整个Put Write指数策略所带来的贡献程度以及影响。

（一）风险暴露组成

芝加哥期权交易所的Put Write指数产品，可以理解为一个评价看跌期权的卖方（-P）与短期美国国库券买方（+X）的策略组合。首先，将此策略的风险单纯分成权益风险和波动风险的两个层面。通过策略组合的要素，将Put Write指数拆解成以下形式：-P+Xe-rT=(-Δp×S+Xe-rT)+(Δp×S-P)。

此处P代表看跌期权的权利金，X代表看跌期权的执行价格，Δp为该期权的delta值，S则为S&P 500指数值，r代表无风险利率，T代表距离到期日的天数。

而由于Put Write指数策略的做法为卖出一价平看跌期权，故此处的公式

本文的Put Write指数策略中，由于是价平的期权，所以该项表示有50%的被动权益配置；而公式（1）中的第二项则表示含有期权长期的波动卖方配置。然而，在此项波动卖方配置中，可以发现该项公式里包含了看跌期权，由于期权的delta每天都会变动，所以这项波动卖方风险其实隐含着第三种风险暴露，也就是随着时间变动而动的动态权益风险项。它还表示，当看跌期权在价外的状态下，标的资产价格和策略收益会呈现负相关；当看跌期权在价内时，标的资产价格和策略收益呈现正相关。

在知道原本第二项波动卖方的风险暴露项还隐含着第二个动态权益风险暴露项之后，将原本两个风险组成因素重新整理，转换成Put Write指数（PUT）真正所包含的三种风险组成因素，表示如下公式：

PUT=－P+Xe-rT=(0-Initial put delta)×Equity→被动权益风险－(Put-Put delta×Equity)＋Xe-rT→波动卖方风险＋(Initial put delta－Put delta)×Equity→动态权益风险

被动权益风险暴露代表着在该策略下所具有的权益风险溢价的关系，而动态权益风险暴露则隐含着市场择时的概念。两者虽同为买卖标的资产所衍生的权益风险项，但前者可以视为长期投资的被动策略性配置，而后者则可以看成短线进出的主动策略性配置。在有效市场下，代表市场择时的动态权益风险项的预期收益应该为零。

波动卖方风险代表着在该策略中，作为期权卖方所具有的波动风险溢价的关系。在探讨期权背后的波动风险时，也可以拆分为与gamma有关的波动风险暴露项和与vega有关的波动风险暴露项。当期权越接近价平或是越接近到期日时，gamma值会越大。同样的，价外或价内的期权受波动性的影响较小，故vega较低；而价平或是距离到期日越远的时候，vega值会越大。虽然对于波动风险可以拆分成上述的细项，然而由于这类二阶的风险，在实务上进行避险相对困难，且必须引入更多的非线性产品，会增加分析上的复杂度，故本文只就整体的波动卖方风险暴露进行讨论。

（二）风险暴露收益

为了能够有效地研究三种风险暴露项分别对Put Write指数策略所造成的影响，本文用Put Write指数产品的组成成分，去自行重组跟它相仿的一个策略组合。此策略组合内包含了卖出到期期限为一个月、标的资产为S&P 500指数的价平看跌期权，并在每个月到期的看跌期权合约结束时继续同样的操作。另外，同时持有价值为该合约执行价的美国三个月国库券，以确保看跌期权在到期时，被执行的事件发生的情况下，投资者有钱可以买回标的资产。故可以将此策略组合的超额收益表示为：

而Put Write指数的三种风险因素所造成的超额收益分别表示如下：

其中，rpe,t代表被动权益风险暴露带来的超额收益，rsv,t代表波动卖方风险暴露带来的超额收益，rae,t代表动态权益风险暴露带来的超额收益；rcash代表美国三个月期的短期国库券利率；spxt代表S&P 500指数；divt代表股利；putt代表看跌期权的价格；X代表价平合约的执行价；△p,t代表看跌期权的delta值；△port,t则代表整个重组的策略组合下的delta值，其表达式如下：

而代表的是整个样本范围下，在每一次合约的起始日，卖掉价平看跌期权时点的delta平均值，且每一次新建立的看跌期权部分都建立在该日的结算价。而这里公式里的delta值都是运用Black-Scholes期权定价公式所推出。

在前面所提到的超额收益，为芝加哥期权交易所中Put Write指数产品所对应的三种风险因素的计算方式。然而，以同样的概念也可以推到其他含有期权的投资组合策略中。

三、实证分析

（一）相关数据

本文使用S&P 500指数期权、S&P 500指数以及美国三个月期国库券的数据来进行Put Write指数策略收益的计算以及相关的实证分析。另外，通过S&P 500指数期货来进行风险控制过后的Put Write指数收益和风险之间的关系讨论。S&P 500指数期权为芝加哥期权交易所建立，本文只选取到期期限为一个月期的S&P 500价平看跌期权的每日数据，而且去除了到期期限为一周的周期权以保持数据分析的纯粹性。数据来源于OptionMetrics，样本数据年度取自2005年12月23日至2015年12月18日。而美国三个月期国库券利率的数据由FREDEconomicData取得。S&P 500指数期货为芝加哥商业交易所（CME）所建立，本文采用的期货数据来源由Investing.com取得。

（二）实证结果

1、Put Write指数。首先，就 CBOE Put Write指数产品本身和S&P 500做累积收益的比较，结果如图1所示，自2005年底至2015年底的区间内，Put Write指数与S&P 500累积收益有相似的走势，而Put Write指数有比S&P 500更高的累积收益。而在同样的样本期间内，经过描述性统计分析，S&P 500的平均年化收益为6.75%，Put Write指数则为7.42%；而就年化的波动率而言，S&P 500的年化波动率为20.76%，Put Write指数则为14.53%。由此可知，这个策略组合有较高的收益和较低的波动率，也表示着在这段期间内，Put Write指数有着比S&P 500更高的夏普比率。

图1 CBOEPut Write指数和S&P 500累积收益比较（2005.12至2015.12）

2、风险因素的超额收益分析。表1是在完整样本期间下的描述性统计，在每天进行动态调整的情况下，三个风险因素都对于整个重组的价平Put Write指数策略组合有正的超额收益贡献。而就波动度而言，被动权益风险项有着8.93%的年化波动率，而波动卖方风险项有4.47%的年化波动率。

动态权益项为一个影响风险暴露的重要因素，由波动率可以发现，动态权益的波动率仅约为被动权益一半的大小；但其风险贡献程度和波动卖方项的风险贡献程度相当。且通过假设检验的计算，在动态权益的风险暴露项在此样本期间所具有的1.95%的超额收益以及5.16%的波动率之下，其t检验为4.17，表示在95%的可信度下，动态权益的风险暴露项能够带给整个价平Put Write指数策略组合显著异于0的超额收益。

在样本期间内，被动权益风险暴露项的夏普比率为0.32，动态权益风险暴露项和被动权益风险暴露项相比之下，可以发现动态权益项的超额收益约为被动权益项的七成笔记，但波动率却只有被动权益项的一半左右，动态权益项的夏普比率接近0.4，是三个风险暴露因素下最高的。讨论alpha时，发现不论对于波动卖方风险暴露项或是动态权益风险暴露项而言，两者对于S&P 500本身当基准的超额收益都是大于0的，显示了在多做了动态调整之后，两个风险因素都能带来比标的指数更高的收益。

另外，由表1的上方beta为0.31，下方beta为0.93的情况，发现价平Put Write指数策略组合有着不对称的beta关系。当S&P 500下降时，此策略对于该标的指数的变动关系为下降。

表1价平Put Write指数策略：风险组成因素的年化收益关系

风险贡献程度计算方法为各个风险因素和整个价平Put Write指数策略的共变异数除以整个价平Put Write指数策略的波动率平方。而在表2中则呈现了在完整样本期间下，三种风险因素的相关程度的关系，通过这个相关系数矩阵，我们可以计算整个Put Write指数策略中，各个风险暴露因素的风险贡献程度。

表2价平Put Write指数策略：相关系数矩阵

通过三种风险因素来解析Put Write指数，整个样本期间各个风险因素所造成的超额收益的走势关系。图2显示了除了在处于金融危机的2008年期间，动态权益项所带来的超额收益较其他两项因素来得高之外，其余时间主要是由被动权益风险暴露项的超额收益主宰其他两项风险因素。为了探讨在不同时间的市场表现对个别风险暴露因素的影响，在此将整个样本期间分成两个子期间予以讨论。两个子期间分别为：2006年初至2011年底和2012年初至2015年底。前者包含了金融危机时期，市场较不稳定的时间区段；后者则是市场表现相对回稳的时间区段。

图2价平Put Write指数策略的累积超额收益

由表3发现动态权益项在第一个子期间所实现的夏普比率为最高，而在第二个子期间反而是由波动卖方项实现最高的夏普比率。因为在第一个子期间内，整个市场表现较不稳定，在金融危机时，S&P 500处于下降时段居多，故此时的波动卖方风险暴露项带来的超额收益较低；而经由动态调整的动作所带来的动态权益风险暴露项的超额收益，由于做法属于追涨杀跌，所以它能在这段子期间内获得最高的夏普比率。而第二个子期间，因为缓涨的原因，动态权益风险暴露项带来的超额收益则比波动卖方小。

表3价平Put Write指数策略：各风险组成因素在子期间的年化收益

3、权益风险。从各个风险因素的超额收益的实证结果发现，动态权益风险暴露项以及被动权益风险暴露项为主要的风险贡献来源，本处专注于这项权益风险。而期权收益的凸性性质，也就是期权的gamma会影响到动态权益风险暴露项，表示着当gamma值越大则delta的变动越不稳定，则需更地动态调整标的资产部位；而gamma值越小，避险调整部位则不必太过频繁。换言之，gamma值即是当标的资产价格变动所引起期权delta变动的衡量指标。在本节中，所衡量的权益风险暴露是在每天的动态调整下所得到的值，暂时不考虑gamma值而去改变动态调整的频率。

通过五个合约比较Put Write指数策略组合的权益风险暴露和S&P 500自每个合约起始日的收益之间的关系。由图中可以发现，在卖出看跌期权的当天，其权益风险暴露大多都处于稍低于0.5的水准，也就是表示在Put Write指数策略组合中，看跌期权平均而言卖在稍微价外的水准。当指数上涨时，看跌期权的delta取绝对值是下降的，显示了成为价外的可能性上升。而当指数下跌时，看跌期权的delta取绝对值是上升的，显示了成为价内的可能性上升。

就整个Put Write指数策略组合而言，它的权益风险暴露和S&P 500指数关系呈现负相关。当市场表现衰退时，会使该投资组合的权益风险暴露越大；当市场处于上涨时，会使该投资组合的权益风险暴露越小。而当看跌期权越接近到期日时，看S&P 500为上涨或下跌，则整个投资组合的权益风险暴露则分别会接近0或1。

近期五个一个月期的合约的权益风险暴露与S&P 500自每个合约起始日的收益的关系大致呈现负相关，于是再通过延伸至整个样本期间，来确认两者之间的关系。在整个样本期间，Put Write指数的权益风险暴露和S&P 500指数自每个合约起始日的收益的散布关系。而结果的呈现和预期相同，Put Write指数的权益风险暴露的范围由0到1，且与S&P 500指数收益呈现负相关。

为了观察整个Put Write指数策略的权益风险暴露随着到期日接近的变化趋势，如图3所示，分析了Put Write指数策略的权益风险暴露和距离当次合约卖出看跌期权时点的交易天数的分配关系。可以发现，当卖出看跌期权的时刻，因为期权为价平的关系，整个投资组合的delta多分布在0.5左右。随着时间的推移，越远离当次合约卖出看跌期权的时点，则Put Write指数策略的delta分配则越来越分散，直到该次合约到期时，其delta多分布在0或1。

图3价平Put Write指数策略的权益风险暴露范围（2005.12-2015.12）

Put Write指数的权益风险暴露分别在距离该次合约卖出看跌期权分别为0、6、12、18个交易天数的分配状况。可以发现，在进行重新卖出看跌期权的合约时点时，整个Put Write指数策略组合的权益风险暴露的大小分布很集中，因为该时点为卖出价平的看跌期权，且选取执行价的方法是以最接近该日S&P 500指数大小而定。而当距离该次合约卖出看跌期权时点越远，则整个Put Write指数策略的权益风险暴露的大小分布则越来越分散，直到较接近该次合约到期日时，其权益风险暴露则会越往0或1靠近。

4、风险管理后的Put Write指数。由前述结果，发现动态权益风险暴露项虽然可以带给策略组合显著异于零的超额收益，但此项风险暴露同时造成了策略组合的一个主要的风险来源。通过一些产品，例如：指数型股票基金或是期货，都可以用来避险。运用S&P 500指数期货，构建一个风险管理下的Put Write指数策略组合，对Put Write指数策略做避险。而经过期货避险后，风险管理后的风险和收益来源只剩下单纯的被动权益项和波动卖方下的风险暴露因素。

通过使用Black-Scholes模型的公式，每天都可以求得整个Put Write指数策略的动态权益风险暴露下的delta值，而得到此暴露值之后，整个风险管理的方式就是运用S&P 500指数期货将此动态权益风险暴露予以避险。举例而言，在2014年12月26日，Put Write指数策略中的期权部分为卖出一个执行价为2070且于2015年1月17日到期的看跌期权，利用Black-Scholes模型所求得当日的策略组合的delta值为0.36，而因为在一个新的卖出看跌期权合约日时的价平策略组合delta值应为0.5，所以在这天需要用净资产价值的14%建立期货的部分达成避险的动作。

表4呈现了利用期货避险的风险管理收益和原来CBOES&P 500 Put WriteIndex（PUT）的真实收益的比较。由表中可以发现，避险掉动态权益风险暴露项，成功地使得Put Write指数策略也存在着不对称的beta关系，以PUT这一栏为例，它的上方beta为0.28，而下方beta为0.95，远高于S&P 50处在上涨情况的beta值。

另外，由避险PUT这一栏可以发现，风险管理过后的Put Write指数策略成功地将处于不同市场状况下的Put Write指数策略和S&P 500的牵动关系更拉近并集中，上方beta变高为0.34，且下方beta变低为0.87，剩下造成不对称性beta的原因为波动卖方风险暴露所引起。

表4风险管理前后的真实Put Write指数和S&P 500的年化收益关系

PUT栏代表CBOES&P 500 Put WriteIndex（PUT）的真实收益；避险PUT栏代表CBOES&P 500 Put WriteIndex（PUT）的真实收益和运用重组构建而成的价平Put Write指数策略的动态权益风险暴露值所推得的期货避险收益的加总。接着，将完整的样本期间拆分为两期，来探讨在不同的市场状况下，避险动作对于整个Put Write指数策略的影响效果。两个子期间分别为：2006年初至2011年底和2012年初至2015年底。

由表5可以发现，不论在哪一个子期间，风险管理过后的避险PUT所带来的超额收益都比没有经过避险的Put Write指数策略要低，而避险过后的波动率都是下降的。在第一个子期间，因为处在市场衰落的金融危机时期，原先不经过避险，使用动态权益的方法，可以获得杀跌的较大超额收益，但经过避险之后，避险的方法却把动态权益风险暴露项的收益削弱了所以可以看到在2006年初至2011年底，风险管理过后的PUT的夏普比率比不使用避险的Put Write指数策略要低，由0.379下降至0.309。然而，在第二个子期间，市场走势处于上扬的情况，Put Write指数策略背后的概念即为看多，而期货的做法为消除动态权益风险暴露项，所以它的避险手段可以视为看空，故波动率也会下降。在上涨的时期，因为动态权益风险暴露项所带来的超额收益较少，而风险管理过后的波动率下降得较多，所以避险PUT的夏普比率比没经过避险的Put Write指数策略要更高，由1.118上涨至1.124。

通过避险手段能够有效地降低整个策略组合的波动率，所以对于更希望逃避风险的投资者而言，给予了利用避险手段以降低动态权益风险暴露的时机和方法。在不同的市场情况下，也会有不同的效果。

表5风险管理前后的真实Put Write指数在子期间的年化收益关系

本文将以往的文献以两种风险因素来拆分期权策略组合产品的风险暴露的方法，改为以三种风险因素重新解构期权策略组合产品的风险暴露，同时也能较完整地说明策略组合背后风险和收益的特性。一是实证结果说明了由期权背后所涵盖的动态权益风险暴露项确实能够显著地为整个策略组合带来超额收益，尤其在市场衰退的情况下，随着delta进行动态调整的策略，与其他两项风险因素相比，动态权益风险暴露项所带来的超额收益贡献最多，也有最高的夏普比率。二是，因为动态权益风险暴露项为主要的风险来源，通过期货避险方法，经过风险管理后可以有效降低整个策略组合的波动度，尤其是在市场走势表现较好的时期，通过风险控制后的策略组合能够毕原来未经避险的策略组合有更高的夏普比率。

整体而言，考虑到期权的delta值会每天变化的缘故，再通过每天调整现货部分的做法，其动态权益风险暴露项能够为Put Write指数策略带来超额收益，那么我们可以将这一概念广泛地运用在其他含有作为期权交易方的期权投资策略组合。同时在未来研究建议中，通过考虑gamma值、更改动态调整部位的频率或避险的频率和手段，使得在利用三种风险因素的拆解方法下，找出能够对整个策略投资组合带来最佳贡献的方法。■