考虑太阳辐射的渠基冻土热力学解析模型

(甘肃省疏勒河流域水资源管理局，甘肃 玉门 735211)

1 概 述

渠基冻土温度场的分布以及对于表面混凝土衬砌的影响，对于冻土区渠道的稳定性和耐久性来说非常重要。我国有大量的灌区修建于季节性冻土区与多年冻土区之上，这些区域冬季早晚温差大，气候多变，在外部温度梯度的作用下渠基水分不断向土体表面迁移而造成严重的冻胀现象，轻则造成渠道衬砌冻胀顶起，重则至使衬砌脱落，严重影响到灌区的安全运行[1]。因此，建立季节性冻土区渠道冻胀热力学模型势在必行。

大量的实践证明，太阳辐射是土壤热量的主要来源，是影响渠基温度场的主要外界因素，在太阳辐射影响下，渠基土体与外界产生大量能量交换，使得渠基温度场的分布发生变化。许多学者针对渠基冻土的热量、水分迁移进行了大量的研究。20世纪70年代初，Harlan[2]首先提出水热耦合模型，从此冻土研究进入了多场耦合阶段；Harlan的理论被Outcalt、Taylor等引用并发展后，又产生了Taylor与Luthin模型；20世纪80—90年代 Konrad与Miller在有限元法的基础上提出了冻土的分凝势模型和刚性冰模型，对土体冻结过程中的水流、冻胀、冰分凝和温度进行预报。但是以上模型只考虑了在恒定温度条件下冻土区土体内部温度场的分布状况，对于太阳辐射因素影响下土体内部温度状况的分布研究尚属空白。

本文在考虑太阳辐射因素对渠基土体温度场影响的基础上，将其回归成一个正弦函数T代入热力学方程中，并通过MATLAB编程计算出在考虑太阳辐射因素下渠基冻土各个时刻t的不同深度Z随温度T变化规律,建立了一种考虑太阳辐射影响的渠道冻胀解析模型，为以后季节性冻土区渠基土体温度场计算提供一种简单可行的方法。

2 考虑太阳辐射渠基冻土热力学解析模型建立

2.1 基本假设

众所周知，冻土是由水、液、气、固组成的四相体系，对于季节性冻土区渠基土来说由于其表面太阳辐射的影响，在表层与一定深度土体之间产生较大的温度梯度，若渠基土地下水位较浅，在温度梯度的作用下会使得水分不断地向土体表层迁移，从而造成渠基土表层结构的破坏。由此可看出渠基土体冻胀破坏本质是水热之间的相互作用，且热是影响水分与力的主要因素。因此，为了简化其间的相互作用关系，本文的模型建立时，对渠基冻土进行了如下假设：ⓐ将冻土看作均匀连续的各向同性体；ⓑ为了便于解析模型计算以及方便简单应用，本模型只考虑太阳辐射对渠基冻土温度场的影响，水文迁移因素暂不考虑。

2.2 模型建立

考虑太阳辐射渠基冻土热力学模型建立，主要经由总结以前的热质传导方程(以单一方向为例)、太阳辐射温度T回归分析、考虑太阳辐射季节性冻土区土体热力学解析模型三个步骤。

2.2.1 通用热传导方程

根据以上假设，冻土在单一方向的热传导方程为

(1)

式中T——温度，℃；

t——时间；

z——深度，m；

Cv——等效体积比热容，J/(cm3·℃)；

kh——渠基土壤热导率，J/(cm·min·℃)。

或者简化为

(2)

式中Dh——导温系数。

2.2.2 太阳辐射温度T回归分析

太阳辐射是渠基冻土外界热量的主要来源，是影响渠基冻土温度变化的主要因素，根据其与时间的关系利用线性回归的方法，可以将太阳辐射温度T与时间t回归为一个正弦函数：

T(t)=Asin[2π(t-ξ)/24]+B

(3)

式中A——日温度变化振幅；

t——时间(在此表示为每日的小时数)；

B——日平均气温；

ξ——初相。

2.2.3 考虑太阳辐射渠基冻土热力学模型

从式(2)可以看出，冻土中的热质迁移不仅跟时间t有关系，而且与深度z的变化密切相关。而太阳辐射是土体温度变化的主要来源，根据数理方程——维热传导方程(one-dimension heat equation)求解方法：

T(z,t)=F(z)G(t)

(4)

将式(4)代入式(2)可得

F(z)G′(t)=DhG(t)F″(z)

(5)

通过变化得出

(6)

因为式(6)中左边仅与变量t有关，从式(3)可以看出，太阳辐射影响条件下回归函数是仅与变量t相关的关系式，从而可以得出

G(t)=T(t)=Asin[2π(t-ξ)/24]+B

(7)

(8)

令

(9)

将式(9)代入式(8)便可以得出

F″(z)-kF(z)=0

(10)

通过此模型可以看出Dh在一般条件下为常数，而一天的温度随着太阳辐射变化时k值在每一个小时内也为一定值，从而将(10)式的F(z)用r简化为

r2-kr=0

(11)

式(11)是一个一元二次偏微分方程，随着时间t的影响，k的变化可能会有以下三种解:

两个不相等的实根r1、r2，对应的解为

T=C1er1z+C2er2z

(12)

两个相等的是个r1=r2，对应的解为

T=(C1+C2z)er1z

(13)

一对共轭复根r1=α+iβ，r2=α-iβ，对应的解为

T=eα[C1cos(βx)+C2sin(βx)]

(14)

通过以上推导可以得出，式(8)即为考虑太阳辐射渠基冻土热力学模型，通过此模型以及一定的边界条件即可以得出各个时刻温度T随深度z变化的规律，从而为季节性冻土区温度场的解析计算提供理论依据。

3 考虑太阳辐射的季节性冻土区渠基温度场模型MATLAB计算流程

考虑太阳辐射的季节性冻土区渠基温度场模型MATLAB计算流程见图1。

图1 MATLAB程序流程

4 算 例

本文以疏勒河灌区总干渠为例对模型进行验证，根据当地气象站2018年11月13日气象资料，该区域一天温度的变化范围为-4～4℃。

4.1 利用气象资料回归分析渠基土表面太阳辐射温度T的变化曲线

太阳辐射随时间的变化而变化，根据气象站提供的疏勒河灌区一天中的最高与最低温度的变化区间，将太阳辐射温度T回归为一个正弦函数即式(3)，进而计算出一天内各个时刻渠基土表面的温度T(见表1)。

表1 一天内温度T随时间t的变化情况

图2 太阳辐射温度T随时间t的变化曲线

图2为一天内渠基土表面温度T随时间t的变化曲线，可知一天的温度早晨最低，随后随着辐射量的增加慢慢地增大，这与实际是相符合的。

4.2 对于解析模型进行验证

将以上回归数值分别带入式(8)计算各个时刻温度土体温度T(℃)随深度z(m)的变化。

(15)

将式(9)代入式(8)可得

F″(z)-kF(z)=0

通过此模型可以看出Dh在一般条件下为常数，而一天的温度随着太阳辐射变化时k值在每一个小时内也为一定值，从而将式(10)的F(z)用r简化为

r2-kr=0

可知该微分方程有两个不相等的实根r1、r2，对应的解为下式：

T=C1er1z+C2er2z

由算例结果可知：受太阳辐射温度的影响土体表面温升较快，由于早晨地表温度高于土体温度，因此土体温度受太阳辐射温度影响较大，随后地表温度的升高慢慢趋于稳定。

早晨6 ∶00—10 ∶00土体温度T随深度z的变化趋势相同，11 ∶00由于表面温度T较高，土体10m以下温度T较稳定一直在1℃左右，因此呈现出了地表温度高于土体温度的现象，这与实际相符合(见表2、图3)。

表2 6 ∶00—11 ∶00渠基土体温度T随深度z的变化情况

续表

图3 6 ∶00—11 ∶00渠基土体温度T随深度z的变化曲线

下午各个时刻的地表温度高于土体温度，土体10m以下温度T较稳定，一直在1℃左右，但是由于下午时刻太阳辐射温度慢慢降低，在下午4 ∶00左右土体温度随着深度的增加而慢慢降低(见表3、图4)。

表3 12 ∶00—16 ∶00土体温度T随深度z的变化情况

图4 12 ∶00—16 ∶00土体温度T随深度z的变化曲线

5 结 论

本文以太阳辐射产生对渠基冻土影响为出发点，建立了考虑太阳辐射的渠基冻土热力学模型，并得到以下结论：受太阳辐射温度的影响渠基土体表面温升较快，由于早晨地表温度高于土体温度，因此土体温度受太阳辐射温度影响较大，随着地表温度的升高慢慢趋于稳定；早晨6 ∶00—10 ∶00土体温度T随深度z的变化趋势相同，11 ∶00由于表面温度T较高，渠基土体10m以下温度T较稳定，一直在1℃左右，因此呈现出了地表温度高于土体温度的现象，这与实际是相符合的；下午各个时刻的地表温度高于土体温度，土体10m以下温度T较稳定，一直在1℃左右，但是由于下午时刻太阳辐射温度慢慢降低，在下午4 ∶00左右土体温度随着深度的增加而慢慢降低。