基于改进Logistic映射的图像加密算法①

胡春杰,阮 聪,牛智星

1(江苏南水科技有限公司,南京 210012)

2(水利部南京水利水文自动化研究所,南京 210012)

引言

随着数字技术、通信技术的飞速发展与普及,图像信息成为多媒体和网络中最重要的信息之一.然而,由于互联网的不确定性与开放性,在图像数据传输过程中,其信息数据安全性问题越来越受到重视.所以,如何保证数字图像的安全性显得特别重要,图像加密是最直接有效的途径之一.传统的加密方法加密效率低、时间较长,不再适用于图像加密[1,2].由于混沌系统具有伪随机性、初值敏感性等特性,因此将混沌系统应用到图像加密中非常契合.随着研究的不断深入,混沌图像加密算法和技术有了相当大发展[3-6].

文献[7]提出基于logistic 映射图像加密算法.简单易实现,效果良好,但是单一的映射加密安全性较差.文献[8]提出一种基于图像分区的置乱算法.该算法首先对原始图像进行分块置乱,再对相邻像素值进行异或运算置乱图像.谢国波[9]提出了结合logistic 映射和Arnold 映射对图像进行加密,提高了置乱和扩散两者之间的关联性,增加了图像的安全性.文献[10]提出了加强型超混沌加密算法,相比低维系统密钥空间大,非线性行为复杂化,虽提高了图像的安全性,但是效率不高[11-13].

本文在cubic 映射和logistic 映射基础上,提出了一种改进logistic 映射的图像加密算法.首先改进logistic 映射对图像进行置乱,然后将置乱图像进行相邻像素间按位异或运算、交叉换位操作,实现了对数字图像的加密.实验结果表明,本文算法不仅达到了较好的加密效果,而且安全性好,抵抗统计攻击和差分攻击强等特点.

1 Logistic 映射及改进

1.1 Logistic 映射

Logistic 映射是一个典型的非线性迭代方程.其方程如下：

其中,当3.5699＜µ≤4 时,Logistic 映射系统处于混沌状态,对给定初始值x0,在式(1)作用下生成的序列是非周 期性、非收敛以及对初始条件敏感的,如图1所示.

图1 Logistic 映射序列分布

1.2 改进的Logistic 映射

目前一维离散混沌映射有logistic 映射和cubic 映射以及它们的衍生映射,其共同点都是系统参数少,混沌区间窄,混沌的复杂性较低,函数形式简单.为了克服以上不足,本文将logistic 映射和cubic 映射进行结合改进,其方程表达式如下所示：

式中,µ∈[0,4],a∈[0,4],b∈[0,3],c∈[0,4] 当参数µ=1.8,a=0.5,b=1,c=1 时,系统具有两个正的Laypunov 指数,说明该系统是一个超混沌系统.

为了检验改进logistic 映射系统伪随机性的好坏,分别对logistic 映射改进前后进行了NIST 测试,测试结果如表1所示,从表1可以看出,logistic 序列有5 项密钥通过,改进logistic 映射全部通过,表明改进后映射的伪随机性高于经典的logistic 映射.

表1 NIST 测试结果

2 改进的加密算法设计

2.1 位置置乱

本文应用改进的logistic 映射置乱明文图像,其主要步骤如下：

(1)将原始明文图像转换成二维矩阵,分别将其行数和列数放在数组C1 和C2 中;

(2)计算原始明文图像所有像素值之和为sum,通过式(3),得到辅助密钥k;

(3)设改进logistic 映射的初始值为x0和y0经过和得到混沌系统新的初始值x′0和y′0;

(4)设置初始条件x0= 0.3,y0=0.4 经过式(2)迭代生成两个实数序列{xk,yk|k=1,2,···,m×n}

(5)对序列xk和yk分别依次进行升序操作,并相应地记录各元素在原始序列的下标,得到两个序列的索引Index1 和Index2,将索引Index1 和Index2 与原始图像的行C1 和列C2 交换,从而达到置乱的效果,得到置乱图像C.

2.2 图像像素值的改变

首先对置乱图像C中每个像素和它前面相邻的像素进行按位异或运算,再对其异或运算的结果进行像素值的交叉换位,得出最终加密图像.其主要步骤如下：

(1)设置乱图像C的第一个像素的灰度值为C(1)与255 进行异或,得到C′(1),再对C′(1)进行交叉换位,得到Q(1).具体的换位操作如下图2所示(图2 中的bit1,bit2,…,bit8 分别表示像素点二进制灰度值的第 1,2,…,8 位);

图2 交叉换位示意图

(2)置乱图像C的第二个像素的灰度值C(2)与Q(1)进行异或操作,得到C′(2),再对C′(1)进行交叉换位,得到Q(2);

(3)依次将图像的每个灰度值C(i)与Q(i-1)进行异或,得到C′(i);依据交叉换位规则得到Q(i).最后将一维Q(i)换成图像D,即得到最终加密图像D.

2.3 解密算法

解密过程为加密过程的相反过程,只要在正确的密钥条件下,按照加密过程的相反操作处理就可以恢复得到原始图像.

3 仿真结果

本文采用经典的Lena 作为原始图像,大小为256×256,在 Matlab7.0 平台上仿真实验,运行得到加密图像.图3(b)为置乱图像,图3(c)为密文图像,图3(d)为正确解密图像.

图3 图像加密与解密

4 算法分析

4.1 直方图分析

图4(a)为明文图像的灰度直方图,图4(b)为密文图像的灰度直方图.从图4可以看出,明文图像的像素点分布不均匀,密文图像的像素点分布相对均匀,很好地隐藏了明文图像的统计特性,达到了预期的要求.

图4 加密前后的灰度值

4.2 密钥空间分析

本文加密算法中改进的logistic 映射有4 个系统参数和2 个初始值共6 个密钥值.假如计算机精度可以达到1 0-16,那么密钥空间为1 096,以及在置乱-扩散过程中有一个外层循环,可见密钥空间非常大.想要通过穷举攻击解密图像,成功的几率是及其渺小的,也就是说可以满足抵御暴力破译的要求.

4.3 信息熵

信息熵是衡量信号源不确定性的重要参数,图像越是混乱,信息熵就越接近理想值,其定义式为：

其中,P(mi)是灰度值mi出现的概率,N为像素比特位数.由式(11)计算可得原始图像的信息熵为7.5683,密文图像的信息熵为7.9900,非常接近于灰度级为256 的图像最大值8,可以得出密文图像所有像素值分布十分均匀的,加密系统能够有效地抵御恶意熵攻击.

4.4 相邻像素点的相关性

为了检验与分析加密前后图像的相关性,分别从明文和密文中随机性地选取2000 对相邻的像素,使用式(12)计算相关性：

其中,E(x)、E(y)分别是x,y的期望;n是像素点的个数;cov(x,y)是x,y的协方差;r相关系数,

图5至图7分别是明文图像和密文图像在垂直、水平、对角线方向相邻点分布情况.从各图中可以看出,明文图像中的点基本上都集中在对角线周围,即图像相邻点相关性很强.而密文图像中的像素点均匀集中在坐标上,即密图相邻点相关性低.

图5 垂直方向的相关性

图6 水平方向的相关性

图7 对角方向的相关性

由表2可得到,明文图像的相邻像素点相关性系数趋近于1,而密文图像的相关性较小,其相关系数靠近于0,可以得出密文图像的相邻间像素点基本不再相关.相比较其他算法[4,9,14],可见该算法的相关系数r更小一点,说明本文加密算法具有良好的扩散性.

表2 相邻像素点的相关

4.5 差分攻击分析

为了测试明文图像一个像素的变化对该算法整体加密结果的影响,采用两种常见的措施[15]：像素变化率(NPCR)和统一平均变化程度(UACI).若一个像素值的变化导致密文图像发生显著地改变,就可以说明算法能抵御差分攻击.

现从图像中随机选取5 个像素点,分别将像素值加1,再对改变像素值后图像进行加密,应用式(13)和式(式14)进行计算.对得到的值取平均值NPCR=99.61%和UACI=31.62%.这就说明当改变原始图像lena(256×256)一个像素时,会使密文图像接近100%的NPCR变化,UACI也在31%以上.说明本文加密算法抵抗差分攻击能力比较强.

5 结束语

本文提出了基于改进logistic 映射的图像加密算法.先利用改进的logistic 映射对图像进行位置置乱,再进行相邻像素间按位异或、交叉换位操作得到最终加密图像.仿真实验分析表明,该算法可以达到良好的加密效果、简单易实现、安全性较好,在数字图像通信传输中,具有良好的实用价值.