K-结构变换下的非线性Cauchy-Riemann方程

王 根

（浙江师范大学 数学与计算机科学学院，浙江 金华 321004）

复分析中的Cauchy-Riemann偏微分方程组提供了复可微函数在开集中满足全纯函数的充要条件[1-2]，全纯函数是复理论研究的核心之一。因此,围绕着Cauchy-Riemann方程很多学者都有过讨论与研究，T Parlakgörür, OK Pashaev[3], I.N.Vekua, T.Carleman, Picard I, Tutschke W, J.D.Gray, S.A.Morris,Looman, H, Menchoff, D, L.Bers, G.T Makatsaria,Z.D.Usmanov,H.Najmiddinov,

R.Ahmedov, A.Tungatarov, G Giorgadze, V Jikia,A Gelbart, Friedman, Avner, H Begehr, DaiD Q, Reissig M, A.Timofeev,等人均是研究广义解析函数或者Carleman-Bers-Vekua （CBV）方程的著名学者[4-12]。

Picard[6]在更一般广义的一阶微分方程椭圆系统的基础上提出了相似理论建立的方法，

在关于系数的一般假设下,系统（1）等价于系统

这是Hilbert首次研究的。Carleman[7]得到了系统（2）解的唯一性质——它们的唯一性。

系统（2）有如下形式

这篇文章从函数变换的角度对复函数w(z)做了一般的结构变换来讨论（1）或（2）式中各项系数之间的联系，其中K(z)=k1+ik2为结构函数且只与复数域C有关，讨论了复函数的可微和解析性，并结合Carleman-Bers-Vekua方程进行了相关讨论。C为复数域，R为实数域。

1 记号与相关定理

设C是复数域,在复分析中引进Wirtinger记号[2-4]

对于可微函数w=w(z,z-),则有微分式dw=∂w+其中的算子为因此得到d=

定理1[4]设w∶U→C是定义在域U上的函数，z0∈U，那么w在z0∈U处可微的充要条件为w在z0∈U处实可微且在可微的情况下，w′(z0)

定理2[2]在点z∈C为R可微的函数w=u+iv,在此点为C可微的充要条件是它满足Cauchy-Riemann条件

式中u,v为实函数,本文总是假定u,v实可微。

定理3[3]若实函数u(x,y)和v(x,y)满足非线性CR方程组

式中G(u,v)和F(u,v)均为Cauchy-Riemann方程的解Fu=Gv,Fv=-Gu,则u(x,y)和v(x,y)满足非线性Laplace方程组

Cauchy-Riemann方程组是线性方程,它们只能解决线性Laplace方程，文献[3]推广了CR方程组用于解决非线性Laplace方程组。

2 主要结果

定义1设Ω⊂C是一个开集，复函数w(z)=u+iv以及结构函数K(z)=k1+ik2都是定义在Ω上的复函数，则K-变换使得

式中k1,k2均为变量x,y的实变函数，因此分量表达式为

这里需要说明的是结构函数K(z)≠0 的任意性，一般情况下，为了突出经典复变函数的地位，我们可以取结构函数为K(z)=1+κ(z)，式中κ(z)为任意结构复函数，因此，我们根据K-变换（8）来讨论复变函数w的一般广义可微性，由于结构函数K的任意性，因此，通过这种变换可以得到任何可能的对传统线性Cauchy-Riemann方程的推广情况，用矩阵表示K-变换（8）即为

其中S为结构矩阵，一般情况下，我们取k1=1+α，则有

定义2设函数(z)在点z0的邻域内或包含z0的区域Ω内有定义,极限为函数(z)在点z0的导数，即

这时称函数w(z)在z0点K-结构可微。若w(z)在区域Ω中每点都K-结构可微，就称w是Ω中的K-结构全纯函数，或K-结构解析函数。

事实上，根据以上定义，由点z0的任意性，得到K-结构导数的表达式为

以上揭示了K-结构函数的不可或缺性，它的重要性对于拓展一般的复导数意义重大，同时，我们可以抽象出K-结构导数算子及它的共轭算符如下列推论。

推论1 C上的广义结构Wirtinger导数算子为

显然，它是Wirtinger导数算子（4）的自然延拓，称为广义结构Wirtinger导数算子。运用整体性的表示法，也就是下面，我们来讨论K-结构微分（10）的分量表达式，即广义（9）的方程组表达式。通过计算可以容易得到表达式

将系统（1）与系统（11）进行对比，易得系数的对应关系

显然地，所有系数都只与结构函数K的分量k1，k2及其一阶偏导数有关,也就是只与结构函数有关，这样一来，我们就极大地简化了系统（1），而只需研究系统（11）或者以下的K-结构全纯条件就行。因此Picard研究的系统（1）可以统一用关于结构函数K的形式表示,也就是只要知道了结构函数K的具体表达形式，则系统（1）就可以被唯一确定,通过在复数域C上加上额外的附加条件,则可以简化得到如Carleman-Bers-Vekua方程的系统。

若将Carleman-Bers-Vekua方程系统（2）与系统（11）对比易得系数的对应关系为

此时K=k1,与定理3相比较易得此时

分量k1，k2的取值也就意味着结构函数K由复变函数形式变为实函数形式K=k1或者纯复函数形K=ik2。Carleman-Bers-Vekua方程系统（2）可以由这两种形式构成，且系数a，b，c，d只与结构函数K的分量的一阶偏导数k1y，k2y，k1x，k2x的四则运算所唯一确定。

利用推论1的广义结构Wirtinger导数，（11）可以用更加简洁的形式表示因此得到如下的定理。

定理4 设Ω⊂ C是开集，复函数w(z)=u+iv是Ω上的K-结构全纯当且仅当

成立，对于∀z∈Ω⊂ C。若w在整个复数域C都K-结构全纯，则w就称为K-结构整函数。它的解w称为广义结构解析函数。

证明：由推论1的广义结构Wirtinger导数，（12）很显然可以自然地推导出分量表达式系统（11）。

注意到K-结构全纯条件是一个等式形式K(z)记所有的K-结构全纯函数的集合为SHol。

推论2 在复数域Ω⊂ C上定义的复函数w(z)∈SHol，若它满足以下条件：

例1：设K=z，此时K-结构全纯条件为=0。

例2：设K=1+z-，此时K-结构全纯条件为

3 总结

事实上，K-结构全纯条件定理4可以从单复数域C自然地推广到多复数变量上Cn，因此我们可以得到结论如下：

1.K=1，Cauchy-Riemann方程，Cn上的解析条件为也就是，1-结构全纯条件。

2.K=1+κ，非线性结构Cauchy-Riemann方程，Cn上的广义解析条件为

也就是，K结构全纯条件。若κ |z=z0=0，κ-结构全纯条件为

3.K=K1+iK2，Cn上的非线性K-结构Cauchy-Riemann方程为K也就是，K-结构全纯。

在单复变C中，n=1且方程形式保持不变。由此可见，K-结构变换具有统一性，能从数学的角度合理地推出其它可能对线性Cauchy-Riemann方程的推广形式。