有限元法解一维杆单元、热传导和流体流动问题的相似性比较

王铭明 胡圣明 于浩 汪晨

摘要：本文通過对求解一维杆应力的有限元刚度矩阵及其方程的推导，并根据类比的方法，延伸推导了一维热传导和流体运动的有限元求解过程。通过比较分析发现，采用有限元法解决上述三种问题的基本原理完全相同，推到出的刚度矩阵及方程也有很大的相似性，可以用相同的方法推广到二、三维的情况。

Abstract： This paper deduces the finite element solution process of one-dimensional heat conduction and fluid motion by deriving the finite element stiffness matrix and its equations for solving one-dimensional bar stress and according to the analogy method. Through comparative analysis， it is found that the basic principles of solving the above three problems by using the finite element method are exactly the same， the stiffness matrix and the equations that are pushed out have great similarities， and it can be extended to the second and third dimensions by the same method.

关键词：一维杆;热传导;流体运动;有限元法;刚度矩阵

Key words： one dimensional rod;heat conduction;fluid motion;finite element;stiffness matrices

中图分类号：V231.1+3                                    文献标识码：A                                  文章编号：1006-4311（2019）09-0152-04

0  引言

自上世纪40年代有限单元法[1]问世以来，随着计算机科技的快速发展，很多学者将其广泛地应用到各个领域，包括结构分析、热传导分析、流体运动分析、质量传输和电磁电位分析等方面[2]。

现今，有限元法已经发展的十分成熟，已经出现了很多大型商用有限元软，如ANSYS、ABAQUS、ADINA、FLAC 3D等等。这些商业软件使有限元法在工程应用中更加方便，也提高了高大复杂结构计算的可行性。因此，一些工程领域已经有限元法的力学分析写入了相关规范，如《水电工程水工建筑物抗震设计规范》（NB 35047-2015）。

尽管采用有限元法解决许多不同领域的工程问题看似是无关的，但如掌握有限元的基本原理就会发现，用有限单元法求解这些问题时，都存在着一定相似性。

本文根据有限元的基本原理，列举了一维的杆单元、热传导、流体运动的刚度矩阵及求解方程的推导过程，比较、分析、总结其相似性，使有限元法的基本原理更清晰，便于工程学者们学习及应用。

4  结语

本文对工程中最简单的一维杆受力、热传导和流体运动的问题，应用有限元方法对其推导刚度矩阵及方程过程，通过比较分析发现在有限元求解上述问题时，在基本原理上完全相同，在应用上有极大的相似点。对工程界学习有限元及其应用有极大的帮助，可以触类旁通地既快又好的掌握这种方法。本文虽然只是介绍了一维的有限元方法，但是工程学者也可以用本文的方法，接着将此推广到二维、三维的情况。

参考文献：

[1]王勖成.有限单元法[M].北京：清华大学出版社，2003.

[2]尹飞鸿.有限元法基本原理及应用[M].北京：高等教育出版社，2010.

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