浅谈含参函数单调性的几种常见题型

摘 要：“含参函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是高考复习的重点。从这几年来的高考试题来看，含参函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视。主要讲解根据定义域隐含条件讨论函数单调性。

关键词：函数；导函数；单调区间

一、用导数求函数的单调区间的基本步骤

（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f'（x）；（3）若f'（x）>0，解出相应的x的范围，则f（x）在相应的区间上是增函数，若f'（x）<0，则f（x）在相应的区间上是减函数。

备注：注意因式分解，注意对参数的分类讨论。

若根含有参数，分类讨论根与定义域端点的位置关系。讨论的标准：（1）是否有根；（2）根是否在定义域内；（3）若定义域内有两根，比较根的大小。

二、题型

（一）求导通分后分子为一次函数

例1：求函数f（x）=ax-1-2Inx的单调区间。

解：f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=a- =

当a≤0时，f'（x）<0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递减

当a>0时，令f'（x）>0，∴x> ，∴f（x）在（ ，+∞）单调递增

令f'（x）<0，∴x< ∴f（x）在（0， ）单调递减

步骤小结：1.先求函数的定义域；2.求导函数（能通分要通分，化为乘除分解式，便于讨论正负）； 3.先讨论函数只有一种单调区间的（导函数同号的）情况；4.再讨论函数有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）。

练习1：求函数f（x）=2x-1-alnx的单调区间。

（二）求导通分后分子为二次函数

例2：（二次函数能因式分解）求f（x）= x2-（a+1）x+alnx的单调区间。

解：f（x）定义域（0，+∞）

f'（x）=x-（a+1）+ = =

令f'（x）=0，∴x=1或x=a

①当a≤0时，∴令f'（x）>0，∴x>1，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增

令f'（x）<0，∴0

②当a=1，f'（x）= ≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增

③当00，∴01，∴f（x）在（0，a），（1，+∞）上单调递增

令f'（x）<0，∴a

④当a>1，令f'（x）>0，∴0a，∴f（x）在（0，1），（a，+∞）上单调递增

令f'（x）<0，∴1

练习2：求f（x）= x2-（a-1）x-alnx的单调区间。

例3：（二次函数不能因式分解）（2018年全国1卷21题第一问）已知函数f（x）=- -x+alnx，讨论的单调性。

讨论f（x）的单调性。

解：f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=- -1+ =

当a≤0时，∴令f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；

当a>0时，对于一元二次方程-x2+ax-1=0，Δ=a2-4

（1）当Δ≤0，0

（2）当Δ>0，即a>2时，令f'（x）=0，∴-x2+ax-1=0，∴x2-ax+1=0

∴x1= 或x2=

∴当0 时，f'（x）<0，f（x）单调递减；

当 0，f（x）单调递增；

练习3：求f（x）= x3+ ax2+x+1的单调区间。

通过例2、例3提炼解题步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导函数，然后通分，分子能因式分解要因式分解；（3）求导函数的根（二次的不能因式分解的看判别式，若判别式大于零则用求根公式求出两个根）；判斷根是否在定义域内（若根含有参数，比较参数与定义域端点处的大小关系）；（4）通过数形结合，判断导函数正负，进而判断原函数单调性，求出单调区间；（5）下结论。

三、教学反思

学生基本了解函数单调性的求解过程，但存在以下问题：（1）解答过程不规范，如忘记考虑定义域、区间用并集表示；（2）混淆了单调性的本质，在求单调性的过程中习惯性地分离参数而不是求x的范围；（3）对于参数的分类讨论缺乏方向，主要体现在乱分类、怕分类。

综合学生学情分析，制订以下针对性的学习方法：（1）提炼解题步骤，力求把步骤口诀化促进学生理解及记忆，同时根据例题解题示范，解决作答不规范、步骤不清楚、容易遗忘等困难。（2）求函数单调性问题，关键在于能判断导函数值何时为正、何时为负。若导函数中含有参数，由于参数影响，则判断导函数正负会出现困难。在做题过程中要理清楚求函数单调性的关键，总结归纳参数分类讨论的基本方向及基本步骤。（3）学生要进行深入的思考、练习并及时比较、归纳、总结。

作者简介：李莉，研究生，高中数学教师，研究方向：广西师范大学数学科学学院基础数学群论方向。

编辑 王彦清