航班飞行中的物理问题

徐劳立 刘宇星 王 越

(北京工业大学数理学院,北京 100124)

现在乘坐飞机出国旅游的人越来越多，乘客可能想知道为什么从中国去美国东海岸的飞机不飞越太平洋？为什么往返航程相同而飞行时间不同？地球的自转对飞机飞行有影响吗？

1 飞行航向和里程

球面上两点间最短距离等于球面上过这两个点的大圆(大圆曲线半径等于球面半径)在该两点间的弧长，由此可确定航班的起点和终点之间的航线走向。

现计算飞行最佳航向，即沿着航程最短曲线飞行时的起飞航迹与当地纬线的夹角γ。

图1 球面上ab两点间路程

设球面上a点为始点，b点为终点，如图1所示，过球面中心点O，始点a，终点b，作一“航线平面”H，此平面与球面相切，所得切线上a、b两点间的曲线长度，即球面上的a、b两点间的最短路程。

地球南北极的直径比赤道直径短些，相差不到百分之一，可将地球近似为正球体。记地球半径为R，取z轴过地球南北极，地球赤道平面为xy平面，取球心到运动点的位置矢量为r，本文中位矢r的方向用经度和纬度坐标(β,α)表示。

这里说明一下，地图上的地理坐标系[1]是一种球坐标系，地图上地球赤道的纬度为零，北半球的纬度范围从赤道的零纬度开始，向北逐渐增加，直到北极的北纬90°，同理，南半球的纬度范围是从赤道的零纬度到南极的南纬90°，图1中的w为通过赤道的纬线。地球的经线为南北极之间的大圆的半圆弧，零度经线过伦敦附近的格林威治，东半球的经度范围从格林威治的零经度开始，向东逐渐增加，直到东经180°，同理，西半球的经度范围是格林威治的零经度到西经180°。地图坐标定义在下面的坐标换算中要用到。

现将上述球坐标系问题在直角坐标系中表示出来[2]，设始点a坐标为(β1，α1)，终点b坐标为(β2,α2)，为计算简单，设始点a的位矢r1在xy平面的投影恰落在x轴上，即y分量为零，此时始点a的位矢r1和终点b的位矢r2分别表示为

上式中的Δβ为始点位矢r1和终点位矢r2在xy平面上投影的夹角，考虑到地图坐标系的东经和西经的划分，如果始点终点都在东半球，则

Δβ=β终-β始

(3)

如果始点和终点分别在东半球和西半球，则

Δβ=2π-β终点-β始点=2π-β1-β2

(4)

下面做始点位矢r1与终点位矢r2作矢量积：

(5)

矢量积h的方向即上面所提到的航线平面H的法线方向，显然，H平面法线与z轴的夹角等于飞机在始点的飞行方向与当地纬线的夹角γ，即航程最短时的飞行航向。为便于推导γ角的公式，将式(5)给出h的3个分量和其大小h分别列出

h与z轴基矢k的数量积为h·k=hz=hcosγ，故有

(9)

下面计算相应的飞行里程S。飞行轨迹处在球面上，若算出始点位矢r1与终点位矢r2的夹角ψ，则飞行里程为

(10)

根据始点位矢r1与终点位矢r2的数量积r1·r2=r1r2cosψ，可得到

(11)

将式(1)、式(2)代入式(11)，得

ψ=arccos[cosα1cosα2cosΔβ+sinα1sinα2]

(12)

式(12)代入式(10)，得到

S=Rarccos[cosα1cosα2cosΔβ+sinα1sinα2]

(13)

将上述公式放入Excel表格，先由始末点的经度位置选择使用Δβ的式(3)或式(4)，在表格中填入经纬度数据α1、α2和Δβ，即可得到航向角γ与飞行里程S，由于反三角函数的多值性，要根据航线几何图形对γ的多值结果作判读。

表1给出从北京出发的若干北半球航线的计算结果，其中关于波士顿的数据由式(4)、式(9)和式(13)算出，结果表明飞往波士顿的航班起飞后将向北飞，而不是向东飞越太平洋。表中其他的目的城市都在东半球，相关的γ和S由式(3)、式(9)和式(13)算出。实际上，高空气流、非惯性力和各国的飞行禁区等因素也会影响航线的选择。

表1 北京到几个城市的飞行航向和里程的计算值北京坐标：东经116°36′，北纬40°04′，地球半径R=6371×103m

2 地球自转对飞行的影响——科里奥利力

首先要指出，在无风情况下，推力相同的飞机沿纬线向东或者向西飞行时，其相对于地面的速度相同；而相对于固定的地球自转轴线上的观察者，由于地球自转线速度的叠加，飞机向东飞的速度较高，飞机向西飞时的速度较低。

地球自转对飞行的一个可能的影响来源于惯性力——科里奥利力。将绕着自转轴旋转的地球表面设为地面参照系，一质量为m、相对于该非惯性参照系以速度飞行的飞机受到科里奥利力[3,4]

FC=2m×ω

(14)

式中的ω为沿z轴的地面坐标系的自转角速度。

现估算科里奥利力FC的量值，以波音787为例，其最大起飞质量为

m=247×103(kg)，最大起飞重量约2420(kN)

(15)

地球自转周期T=8.616×104s，设飞机对地速度1000×103m/h～278m/s，当与ω垂直时，科里奥利力的最大值为

(16)

其方向与飞机前进方向的推力垂直。波音787的发动机最大推力约为250kN，正常巡航时的发动机推力是最大值的70%～80%，约为

F飞机巡航推力=200kN

(17)

对照式(16)和式(17)，可见科里奥利力的最大值约为飞机巡航推力的5%。

为便于讨论，下面给出科里奥利力的几个投影公式，首先，将飞机水平飞行速度分解为平行于纬线的分量∥和平行于经线的分量⊥，相应的科里奥利力为

FC∥=2m∥×ω

(18)

FC⊥=2m⊥×ω

(19)

当飞机航向与纬线夹角为χ，飞机所在点的纬度为α时，两个力的大小分别为

式(18)给出的科里奥利力分量还可以分解出径向分量，径向为地心到飞机的连线方向，也就是铅垂方向，式(18)给出的力经过投影，由式(20)可得径向分量FC∥径向，

FC∥径向=2mvωcosχcosα

(22)

现以北半球的航行为例，讨论两个特殊情况下的科里奥利力效应。

(1) 当飞机沿赤道向东飞行时，根据式(14)，可判断出飞机受到的科里奥利力是背离地心向上的，如图2所示，根据公式(22)，FC∥径向=2mvωcos0cos0=2mvω，根据式(15)、 式(16)给出的数值，此力大约可使飞机减重0.4%；同理，当飞机沿着赤道自东向西飞行时，科里奥利力也可使飞机略微增重。

图2 飞机沿赤道向东飞行时受到的科里奥利力示意图

类似地，舰载机在位于纬度α的航母上自西向东起飞也会获得微小的助力。根据式(22)，此时飞机受到径向的科里奥利力的大小为FC∥径向=2mvωcosα，但由于舰载机起飞速度(约200km/h)约为客机高空巡航速度的1/5，且当不在赤道上，cosα<1，科里奥利力径向分量会减小，相对减重效果(或升力相对增加)仅为10-3数量级。相比较而言，由于飞机飞行时受到的升力与飞机对空气速度的平方成正比[5]，若航母以30节航速(约50km/h)迎风航行，舰载机也迎风起飞，可得到升力的相对增加在10-1数量级。

图3 北半球飞机沿经线向北飞行所受科里奥利力示意图

同理，当飞机在南半球沿着经线向北或者向南飞行时，根据式(14)可知，此时科里奥利力的方向总是指向前进方向的左侧。具体实例的讨论从略。

3 地球自转对飞行的影响——高空急流

第二次世界大战末期，美国飞行员在日本上空的对流层顶部附近向西飞行时，遇到一股高速气流，以至于难以航行，后来经气象学家的研究，认识到高空急流西风的存在。

高空急流位于对流层顶部附近[6]，速度约为160km/h，在南北半球各有一条极地急流(Polar Jet)和一条副热带急流(Subtropical Jet)，北半球的极地急流覆盖了北美、欧洲和亚洲的中高纬地区，恰处于航班飞行的繁忙区域。

客机巡航飞行高度通常选择在地球大气对流层的顶部，即平流层区域，因为这里气流较稳定，空气较稀薄，空气阻力较小，利于飞机经济平稳飞行。

对流层顶部区域的西风急流的成因很复杂。一个主要的、全球性的原因是地球的自转造成了地球表面受太阳照射加热的区域持续地由东向西移动，接受到阳光的区域空气温度升高、密度降低，压力下降；而将要被太阳照射到的黑暗区域的空气温度较低，密度较高，压力较高，致使空气从黑暗的高气压区向着有阳光的低气压区运动，形成地球尺度的由西向东的大气环流。

还有另外一个重要的因素，赤道平均日照量比南北极多，整体上气温比较高，赤道区域上升的热空气在高空分别向南和向北流动，根据式(14)可判定，在科里奥利力作用下，上述的南半球气流和北半球气流都会持续获得自西向东的速度增量，这也是西风急流的一个成因。

高空急流速度约160km/h，风向主流自西向东，有时偏南或偏北，航班客机相对于空气的速度约为1000km/h。飞机从北京飞往巴黎时逆风，约飞行11h，回来时顺风，约飞行10h，相对差别在10-1数量级。

类似地，与北京纬度相当的东京在东方约2000km，从北京飞往东京要快些，返程时要慢些，返程航行时间大约多半个小时；乌鲁木齐在北京以西约2600km，从北京飞往乌鲁木齐要慢些，从乌鲁木齐飞往北京时要快些，约少用0.5h，而北京与南方的厦门两地飞行距离约1700km，飞行方向大致与高空急流方向垂直，客机往返的时间基本相同。

总之，地球自转导致的太阳对地球表面照射的不均匀所引起的大气环流，是航班往返时间有所不同的主要原因，而地球自转引发的科里奥利力效应对飞行的直接影响较弱，比上述的大气环流的影响要小一个数量级到两个数量级。