整数乘法最后一课的教学途径与策略

沈敏杰

[摘 要]“三位数乘两位数”是小学阶段整数乘法知识的最后一个板块，是学生在认识、理解和掌握两位数乘两位数的知识的基础上进行算法迁移和理解算理，是小学阶段笔算乘法的总结。通过梳理教材读懂教学内容，进行前测，把握学生认知起点，把握本课教学目标。在此基础上提出有效落实教学目标的三大策略：“计算”与“情境”相融，主动完成迁移; “算理”与“算法”相辅，自主构建模型;“估算”和“笔算”衔接，提升运算技能。

[关键词]三位数乘两位数;途径;策略

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2019）17-0014-05

一、反思：“整數乘法最后一课”到底教什么

“三位数乘两位数”是人教版教材四年级上册的内容。很多教师都认为这节课没什么好上的，太简单了。打开教材，内容非常“简单”：一个例题，只呈现了竖式计算和估算，后面加了一个练习，刚好一页内容。分析后发现：学生已经掌握了笔算两位数乘两位数的方法和算理，其两者间的算理、算法是一致的，只要稍微提示，学生便能顺利迁移。

然而，真是这么“简单”吗？

笔者不这么认为。首先，“三位数乘两位数”是笔算乘法的最后内容，既是对整数乘法笔算的总结，又是后续学习小数乘法的基础。其次，学生掌握三位数乘两位数的笔算的方法不难，但单纯、反复进行计算训练单调枯燥，会降低学生的学习兴趣。最后在教学中，教师处理通常会教条化：关注算理和算法，忽略整数乘法的最后一堂课的意义所在;过分重视算法多样化和强调计算的准确性等。

所有的这些，都意味着“三位数乘两位数”的教学绝不能简单化。

二、三个方面：“整数乘法最后一课”学什么

“三位数乘两位数”作为义务教育阶段整数乘法的最后一个知识板块，到底要给学生留下什么？学生在整数乘法最后一节要学什么？可以从以下三个方面进行思考。

（一）梳理：读懂教学内容

通过梳理教材可以发现，“三位数乘两位数”是在学生掌握了口算乘法、多位数乘一位数的口算及笔算、两位数乘两位数的笔算的基础上进行教学的。

整数乘法其计算本质是计数单位的累加，笔算乘法就是用竖式记录几个几、几十个几、几百个几相加的和。从教材内容上可以发现，四年级的学生已经积累了相当丰富的活动经验，能够借助小棒、点子图等理解算理，并用算理解释算法，应该说，学生对算理的理解和算法的掌握已经非常好了。

（二）前测：把握认知起点

数学学习是以学生已有的知识和经验为起点。学生学习新的知识和技能的迁移依靠原有的知识基础、认知能力。“三位数乘两位数”是在三年级学习了“多位数乘一位数”“两位数乘两位数”的笔算基础上进行学习的内容。与“多位数乘一位数”“两位数乘两位数”相比，“三位数乘两位数”和它们的算理及算法是相同的，这是教材编写的逻辑起点，也是教师对学生预设的认知起点，然而，这两个起点是不是一致？学生掌握到了什么程度？学生能否将原有的算理和算法主动迁移到新的情境中来？只有了解了这些问题，才能准确定位本节课的教学目标。

为了了解学生的真实状况，对授课班级进行教学前测：

分析：学生基本掌握了“三位数乘一位数”，大部分学生能正确计算“两位数乘两位数”，并能够利用之前的计算经验迁移计算“三位数乘两位数”。对于正确率还是低于教师预期，有三个原因：①一小部分学生不清楚算理算法，在第二步计算时数位对齐有问题;②连续进位时漏加或加错进位数字;③学生缺乏检验的意识。

（三）建构：确定学习目标

1.要对整数乘法系统进行总结

“三位数乘两位数”的学习建立在学生已有的知识与经验的基础上，其中的算理与算法没有什么难度，学生能够通过迁移进行学习。但是作为整数乘法教学的最后一块内容，学习目标仅仅设定为“会算”是否够了？笔者认为：学生应获得更深的学习感悟，对整数乘法系统有一个总结。

2.自主迁移学习是主线

如果本节课只是单纯地要求学生掌握算理和算法，那么这节课就会缺乏数学学习的生命力。计算教学蕴含着丰富的数学思想方法，如转化、归纳思想等。本节课中，教师应引导学生根据已有的知识探究“三位数乘两位数”的方法，从而迁移到后续的“三位数乘三位数”“四位数乘三位数”的运算中，最后总结整数乘法的算理和算法，整体把握笔算乘法的内涵。“迁移”作为掌握新知的方法，在关注计算的教学中往往是作为暗线来处理，而本节课中可以让其成为明线，不仅关注计算，同时注重数学方法的提炼与总结，注重提升学生运用方法的意识，提升学生的学习力。

最后，本节课的学习目标定位如下：

知识技能：结合“三位数乘一位数”“两位数乘两位数”的知识经验，自主理解“三位数乘两位数”的笔算算理，类推“三位数乘两位数”的计算方法，归纳笔算乘法的算法和算理。

数学思考：通过观察、比较、推理与概括等实践活动，经历利用旧知解决新问题的过程，发展类推能力，提高估算能力和运算能力。

问题解决：在与他人交流算法的过程中，学会表达自己的想法，逐步养成善于倾听、勇于质疑的好习惯，提高问题解决的能力。

情感态度：在数学学习中感受数学内在的魅力，形成良好的计算和估算习惯。

三、三大策略：探究“整数乘法最后一课”怎么学

（一）“计算”与“情境”相融，主动完成迁移

人教版教材将运算和解决问题这两个内容放在一起编排，目的是把计算教学融入现实应用中，让学生在问题的现实背景下经历算法的探索过程，在解决问题中认识计算的工具性和解决现实问题的价值。

1.创设情境融合复习铺垫

教材中的每个例题总是配一幅生活情景主题图，所以很多教师课堂教学的第一环节就是“创设情境、提出问题”，一般都是按“复习——新授——巩固”这样的环节走，其实可以将这些过程合并。

【教学片段1】

出示情境：请选择其中的一个问题后列式解答。

（1）王阿姨从杭州乘高铁去北京用了5小时，高铁每小时行315千米。杭州到北京有多少千米？

（2）张大伯从杭州开车去青岛用了11小时，汽车每小时行75千米。杭州到青岛有多少千米？

交流反馈：

师：你为什么用乘法来解决？你是怎么算的？

（学生回答略）

师：你这个“5”要写在这里？

生：是的，因为它不是5，是50。

师：那这个“75”表示什么？（75个一）这个呢？（75个十）

出示情境：（3）李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车每小时行145千米。该城市到北京有多少千米？

师：145×12到底等于多少呢？你会算吗？请试一试。

“三位数乘两位数”和“两位数乘两位数”的计算过程与算理在本质上是一致的。因此，“三位数乘两位数”的教学目标不再是掌握算理，而是相同算理的迁移和运用，让学生根据两位数乘两位数的笔算方法，推测、掌握三位数乘两位数的笔算方法。通过“十一黄金周旅游”这样一个融合新旧知识的问题情境，学生能主动唤醒原有计算经验，自然建立新旧知识点的联结，体验到成就感。

2.现实价值融合算理理解

课程标准强调：计算教学应通过解决实际问题进一步培养学生数感，增进学生对运算意义的理解。

【教学片段2】

师：你们根据已有的两位数乘两位数笔算的经验迁移得出了三位数乘两位数的计算方法。但是，数学是講道理的，能结合实际问题情境，说一说每一步算的是什么意思吗？

生1：290算的是2小时行的路程，145算的是10小时行的路程。

生2（指着竖式中的“145”）：这里的“145”的意思是1450，因为10个145是1450。

师：那么1740算的是什么呢？

生（齐）：12小时行的路程。

学生结合现实的问题情境说清每一步算的是什么，进一步理解竖式算法，从而理解算理。情境的价值并不局限于使学生感受数学与生活的联系，更多的是让数学的学习依托现实，让问题更具有现实的价值，并通过现实的价值助力学生理解。

（二）“算理”与“算法”相辅，自主建构模型

在计算教学中，“怎么算”是基础，“为什么这样算”是依据，这两点在计算教学中缺一不可。本节课力求在现实的情境中使学生主动迁移算法，在比较中明晰算理，在交流中总结和建立笔算乘法的模型。

1.迁移计算中明晰算理

【教学片段3】

师：145×12，说说你是怎么算的？

生1（如图4）：我先用2乘5得10，写0进1，用2乘4加1得9，用2乘1得2;再用1乘5得5，1乘4得4，1乘1得1。5和十位对齐。最后的结果是1740。

生2（如图5）：我先算2乘145得290，再算十位上的1乘145得145，5和十位对齐。最后把两次相乘的积相加，结果是1740。

师：他们的算法有什么相同的地方，又有什么不同的地方？

生3：相同的地方是都把12拆成了2和10，再分别去乘，最后相加。

生4：都强调了第二步的得数与十位对齐。

师：你们觉得哪一个说法更好？好在哪？

生5：生2说的更清楚和简洁。

师：我们之前没有学过“三位数乘两位数”，现在大家已经会算了，你们的算法根据的是什么？

生6：跟两位数乘两位数差不多的。

师（出示图6）：相比之下，新知识多了百位上的1，这个1是怎样乘的？多了多少？

生7：用乘数个位上的2与十位上的1去乘，分别多了200与1000。

师：如果与三位数乘一位数比较，多了十位上的1，这个1又是怎样乘的？多了多少？

生8：用乘数十位上的1去乘145，多了1450。

学生在之前的学习中已经充分探讨过笔算乘法的算理，作为整数乘法的最后一节课，其目的是为了让学生经历算法多样化和算法优化的过程。多次试教本节课后发现，在主动尝试环节，绝大部分学生自动选择了竖式笔算的方法，而教师预设的口算的方法都没有出现。因此，这里不再过多纠缠于算理的理解和算法的多样化，而是在学生主动迁移算法的基础上，借助现实情境，解释竖式每一步算的是什么。

2.算法类推中提炼总结

【教学片段4】

师：我发现大家已经会计算三位数乘两位数。请观察下面这些算式，在计算过程中它们有什么相同点？

生1：算法是一样的，先用个位上的数去乘，再用十位上的数去乘，然后把两次相乘的积再相加。

师：我知道你们为什么会算了——将学过的知识运用到新的知识的学习中，这个方法在数学上称为“迁移”。

师：你觉得接下来我们还会学什么？

生2：四位数乘四位数、四位数乘三位数……

师：你能举个例子吗？

生2：1123×123，2341×5134。

师：可惜今天是我们整数乘法的最后一节课，如果老师不教，你还会吗？

生3：会的。

师：你打算怎么算？

生3：跟之前的算法一样。

师（出示图8）：请想象一下，笔算这两题的时候，竖式会是一个什么样子。

生4：像一个楼梯。

师：我们以后笔算乘法，其实只要先……再……

……

通过计算过程的比较，再迁移“四位数乘四位数”的算法，最后帮助学生建立数学模型。作为整数乘法的最后一课，更多地需要放慢脚步，让学生有更深的感悟，对整数乘法的学习有一个总结。

（三）“估算”和“笔算”衔接，提升运算能力

“口算、笔算、估算”被称为计算三宝。笔算与估算能互相促进，互为检验手段。培养估算意识，要让学生体会估算价值的同时也要认识到估算不是独立于笔算之外的，估算与笔算应该是相辅相成的，最终提升学生的观察与分析的能力、运算能力等。

1.算前估与精算后相衔接，优化估算方法

【教学片段5】

师：请估计一下，145×12的得数大约是多少？

生1：100×10=1000。

生2：145×10=1450。

师：答案是大于1450，还是小于1450？

生3：应该比1450要大，因为他把12估成了10，积就变小了。

生4：150×10=1500。

师：比较这三种估算的结果，你认为哪个更接近准确结果？（教师对学生的回答不做评价）

师：你对哪个估算方法有建议？为什么？

生5：對于100×10=1000，因为把俩个因数估小了，特别是145估小到100，这样离准确结果就有点远了。

在课堂上先通过估算，知道精算的大致得数范围，最后算出结果后再和开始的估算结果进行比较，从而优化估算的方法。显然，“合理估算——精确计算——优化方法”在这里并不是简单地把估算处理成“为了估算而估算”，而是把估算的意识和习惯当作一项重要的目标去实施。课堂的实施中还有一个意外的收获，一个学生在探究算法的过程中采用“145×10+290=1740”，在估算的基础上，探究出了口算的方法。这样的教学过程真正体现了估算的价值——培养良好的估算能力有助于提高学生的计算能力，有助于培养学生的数感。

2.估算与精算相衔接，提升运算能力

【教学片段6】

师：某位同学计算得出121×13=484，他算得对吗？你是怎么判断的？

生1：看末位，1乘3得3，肯定是错的。

师：那改成483，对吗？

生2：不对。因为就算是100×10也等于1000，答案应该比1000大。这里是484，不可能。

师：那改成1483，对吗？

生3：那要算一算了。

生4：不对。120乘10等于1200，120乘3等于360，加起来等于1560。

师：生4非常厉害，既有估算，又是精算，还能够结合估算和精算进行判断。

师：对于第4题，你会怎样判断？

生5：把983看成990，93看成100，乘一下是99000，结果应比99000小。

师：这让我想起了这道题目“最大的三位数999乘最大的两位数99的积是多少，是几位数呢？”。

生6：如果看成1000乘100，刚好是个六位数，所以999乘99是个五位数。

师：如果算一算，999乘99等98901，所以“三位数乘二位数”的积最小是10000，最大是98901。其他的积都在这个范围内。

在“精算”之前，先估计积的大致范围，对计算结果做到心中有数;在“精算”之后回过头对结果进行估计，可以帮助学生检验计算结果的准确性。因为估算不仅仅是一种技能，更是一种良好的意识和习惯。

“三位数乘两位数”既是笔算乘法的新授课，也是“算理算法”的巩固课，更是整数乘法的总结课。整数乘法是后续小数乘法的基础，学生在这里对笔算乘法的算理、算法掌握的程度，都将直接影响将来的计算学习。因此让学生借境梳理以“迁”构“型”，是一项具有重大意义的课题。

（责编 金 铃）