组合边界对圆柱壳结构输入功率流的影响特性研究

2019-06-21 07:24:48陈炉云郭永晋

振动与冲击 2019年11期

陈炉云，郭永晋

(1.上海交通大学海洋工程国家重点实验室海洋智能装备与系统教育部重点实验室，上海 200240；2.高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海 200240)

在结构动力学分析中，描述振动特性的参数包括速度(加速度、位移)、力、固有频率、功率流等。功率流包涵了力、速度的幅值及二者间的相位关系，能较为全面地表征结构振动过程中能量传输机理和规律。在振动功率流分析中，Lee等[1]分析多域系统振动耦合问题获得了振动功率流的传递规律，对压缩机基座的振动传递的功率流进行数值计算。Choi等[2]分析了复合材料浮筏系统的功率流问题，对具有不同阻尼参数浮筏结构的减振效果进行了对比。马丰伟等[3]应用灵敏度方法分析了隔振设备设计参数对功率流的影响。王晓乐等[4]针对动力装置的隔振问题，运用子结构导纳法推导整体系统的功率流传递方程。

圆柱壳结构广泛应用于航空航天、海洋工程等领域。对于流场中圆柱壳结构的声振问题，李广等[5]利用模态叠加法推导了点激励力作用下的壳体结构功率流表达式，探讨了三种振动波功率流随振动频率和空间变化的传播特性。陈浩森等[6]分析了流体黏性特性对流场-圆柱壳耦合系统的振动能量流输入的影响。Liu等[7]基于Flügge薄壳方程和Helmholtz波动方程推导了静水压力下环肋圆柱壳结构在周向余弦线分布力激励下的输入功率流特性。叶文兵[8]基于波传播方法计算了半浸状态的圆柱壳结构在周向线激励作用下的输入功率流。张森森等[9]运用傅里叶积分变换和势流理论求解流固耦合方程，推导了阻尼复合圆柱壳振动功率流计算方法。在上述研究中，研究对象都是处于无限流场空间内的声振问题。

在结构振动-声辐射分析中，结构声振特性受边界条件的影响，如近地面结构的振动-声辐射受地面反射的影响，水下结构的声辐射受水面及海底面的影响。半空间域或浅水域的振动-声辐射问题是研究的热点。白振国等[10]利用镜面理论探讨了浅水中圆柱壳结构的声散射特性，对比了水深、潜深对圆柱壳外声场分布和衰减特性的影响。Lu等[11]基于声格林函数，对比了水深对海底声反射的影响。Hasheminejad等[12-13]应用镜像理论分析了半空间域内圆柱壳结构声辐射问题。王鹏等[14-16]针对浅水中圆柱壳结构开展了振动与声辐射分析，研究了浸深对输入功率流及声辐射的影响。对于更复杂的声边界问题，Chan等[17]针对角域内的结构振动波的边界反射问题，应用双反射法进行求解。Ye等[18]推导了同时含自由液面和刚性面的组合声边界下的圆柱壳结构声辐射方程。王威等[19-20]结合保角变换理论和双反射法推导了组合边界任意夹角内的声辐射方程，对比了直角空间域内边界特性对圆柱壳结构声辐射功率及声指向性的影响。然而，对于含复杂声边界的圆柱壳结构功率流特性问题，目前的研究成果较少。

本文针对含组合声边界的圆柱壳结构声振问题，应用双反射理论推导同时含自由液面和刚性面边界特性的圆柱壳结构输入功率流方程。对比了声边界特性、频率和位置对圆柱壳结构输入功率流的影响。

1 无限流场中圆柱壳结构声模型

1.1 圆柱壳模型

无限长圆柱壳结构浸没于密度为ρf、声速为cf的无限流场中。圆柱壳壳体厚度h与中面半径R满足h/R<<1。以圆柱壳结构中心为原点建立柱坐标系，z、θ和r分别表示壳体轴向、周向和径向方向，u、v和w分别表示壳体中面的轴向、周向和径向位移，如图1所示。

图1 流场中圆柱壳结构坐标系

1.2 Flügge壳体运动方程

根据Flügge薄壳理论，流场中无限长圆柱壳结构运动控制方程写成

(1)

式中:[Li,j]为Flügge薄壳振动微分算子;[u,v,w]T为壳体中面位移;[0,0,Fr]T为作用在圆柱壳上径向外激励力;[0,0,Pr,f]T为作用在结构表面的流体等效载荷。

在圆柱壳结构振动过程中，振动波沿结构轴向传播，周向取驻波形式的解(省略时间简谐项eiωt)。基于波传播方法，壳体中面位移可写成

(2)

式中:n为周向模态阶数;i为单位虚数;kn为轴向波数。Un、Vn、Wn分别为波数域下轴向、周向和径向位移幅值。

1.3 声辐射方程

设圆柱壳外部流场为理想声介质，自由声场中的声压方程满足Helmholz波动方程

(3)

在柱坐标系下，应用分离变量法求解式(3)，圆柱壳结构远场声压可写成

(4)

在流体与圆柱壳结构交界面上满足速度连续条件，即流体径向位移等于壳体表面径向位移

(5)

(6)

对式(6)求导，得圆柱壳结构表面径向速度

(7)

2 直角空间域内圆柱壳声振方程

对于水中圆柱壳结构，存在同时含有自由液面和刚性壁面的组合声边界状态，如悬浮于码头附近近水面潜艇的声辐射问题。本文对由刚性壁面和自由液面组成的三维直角空间域内圆柱壳结构声振特性进行研究，分析声边界特性对输入功率流的影响。

2.1 直角空间域概述

对于无限长圆柱壳，如忽略轴向坐标z的因素，可将三维直角空间域问题转化为二维平面问题，如图2所示的右下区域。

设z方向为圆柱壳轴向方向、x轴正方向朝下、y轴正方向朝右。圆柱壳中心与刚性壁面及自由液面间距离分别为l和s，并满足(l>R,s>R)。

2.2 双反射理论

对于同时存在刚性壁面和自由液面的直角空间域内的声辐射问题，利用双反射理论获得受控空间内圆柱壳结构声振特性。

图2中，声学系统由一个真实声源和三个镜像声源组成。实线环OT为真实圆柱壳结构；虚线环O1为自由液面反射形成的镜像圆柱壳结构；虚线环O2为刚性壁面反射形成的镜像圆柱壳结构；虚线环O3为双反射形成的镜像圆柱壳结构。

图2 圆柱壳结构双反射图

以4个圆环的形状中心O为原点建立柱坐标系(r,θ,z)。在z=0平面上的任意场点P，其声压函数p(r,θ,z)由4个柱面波声压方程叠加。

p(r,θ,z)=pT(rT,θT,z)+p1(r1,θ1,z)+

p2(r2,θ2,z)+p3(r3,θ3,z)

(8)

2.3 声边界方程

2.3.1 自由液面边界

(9)

2.3.2 刚性壁面边界

(10)

2.3.3 双反射界面边界

图3 交界处声辐射

(11a)

(11b)

3 声振方程求解

3.1 正交化处理

交界O点同时位于边界Oy和Ox上，如声辐射方程满足式(9)和式(10)的边界条件，则必满足式(11)的边界条件。利用Hankel函数正交性，对式(9)和式(10)进行正交化变换。

(13)

式中:J()为第一类贝塞尔函数。

(14)

式中:J()为第一类贝塞尔函数。

(15)

式中:J()为第一类贝塞尔函数。

(16)

式中:J()为第一类贝塞尔函数。

Jg(krr2)ein2θ2=

(17)

将式(17)代入到式(14)中，可得如下方程

(18)

3.2 声辐射方程

联立式(8)、(13)、(15)和(18)，近场处声压方程可写成

(19)

φ2=(-1)n

φ3=(-1)

3.3 复杂声边界的圆柱壳声辐射方程

在直角空间域圆柱壳结构输入功率流计算中，分析结构表面处声振问题。结合式(8)和式(19)，获得直角空间域内圆柱壳结构近场声辐射方程

(20)

结合式(8)和式(19)，亦可得直角空间域含复杂声边界的圆柱壳结构远场声辐射方程。

式(20)的物理解释如下：根据圆柱壳结构及其镜像分布的对称性特点，真实圆柱壳结构及3个镜像圆柱壳结构的柱形声波到达刚性壁面上的任意一点时，法向合成速度为零；在自由液面上的合成声压为0。根据声波动方程解唯一性原理，式(21)满足Helmholz波动方程，可认为该式是图3中所描述的直角空间域内圆柱壳结构声振动问题的唯一正确解。

进一步研究表明，如果两个声边界都是自由液面或刚性壁面时，亦可应用双反射法获得相应解析解，对于这类问题在本文中不展开叙述。

3.4 径向速度

对于直角空间域流场中的受激圆柱壳结构，采用近场声压公式，将式(20)代入式(7)，可得到圆柱壳结构表面径向速度

(21)

4 直角空间域圆柱壳输入功率流

4.1 输入功率概述

输入功率反映了外力输入到耦合系统中的能量传递方式，输入功率流可写成

(22)

4.2 圆柱壳结构输入功率流

无限长圆柱壳在z=0处受周向余弦分布的简谐力作用

Fr=F0δ(0)cos(nθ)e-iωt

(23)

式中:ω为圆频率;F0为激励力幅值;δ(0)为delta奇异函数。对于任意形式外激励力，可通过傅里叶级数变换进行处理。

将式(23)代入式(22)中，得单位长度径向线激励力的输入功率流

(24)

式中:w(0)为在z=0处的壳体径向位移。周向线力激励力输入到系统的输入功率流

(25)

4.3 圆柱壳结构输入能量流

将式(24)代入式(25)，在rT=R,z=0的圆周上，直角空间域内受激圆柱壳结构的输入功率流可写成如下形式

(26)

将式 (21)代入式(26)，可得到

(27)

5 数值计算和讨论

根据式(28)所推导直角空间内的圆柱壳结构声振方程，开展复杂边界条件下的圆柱壳结构输入功率流的计算，对比圆柱壳结构位置、频率等参数对圆柱壳输入功率流的影响。

5.1 模型概述

在圆柱壳结构声振特性推导中，将圆柱壳结构定义为无限长结构。在实际工程中，如圆柱壳结构的长度L>>l,s,r,R，圆柱壳两端对结构声辐射的影响可用两端存在两个无限大声障板来处理，声学计算空间为[-L/2，L/2]。

在数值计算中，圆柱壳结构基本参数定义如下：圆柱壳直径D=1 m；圆柱壳长度L=400 m；壳体厚度h=0.02 m。

壳体结构材料为钢，其力学性能为：密度ρS=7 800 kg/m3；弹性模量E=192 GPa；泊松比μ=0.3。流场声介质为水，其声速cf=1 500 m/s，密度ρf=1 000 kg/m3。

圆柱壳结构在z=0处受简谐力激励力的作用，取幅值为单位力进行输入功率流计算。

5.2 计算方法验证

为验证推导公式的正确性，对计算结果与文献数据进行比较。在对比中，设s和l值比较大，则圆柱壳结构受边界的影响将变小，并将逐渐消失。以s=l=50.0 m时直角空间域内圆柱壳结构的输入功率流为例，与参考文献[18]中输入功率流值进行对比。对比输入功率流的模态分别为n=0和n=1，其无量纲化频率范围为0～5，如图4所示。

由图4可知，数值计算结果与文献结果基本吻合，验证了推导公式的有效性。计算表明，随着圆柱壳位置离声边界距离越远，其声振特性与自由空间中的声振特性趋近。

5.3 输入功率流对比

图5所示为圆柱壳结构位于流场中处于不同位置时不同模态下的输入功率流的对比图。

在数值计算中，分别定义l=2.0 m、s=2.0 m；l=2.0 m、s=5.0 m；l=5.0 m、s=2.0 m；l=5.0 m、s=5.0 m等4种边界工况，对比4种工况的圆柱壳结构输入功率流，分析位置和频率对输入功率流的影响。

如图5所示，对比不同频率与位置对输入功率流的影响:

(1) 在高频率段(Ω>2)，圆柱壳结构位置对输入功率流影响不是很明显；同时，随着模态阶数的增加，其差异有减少的趋势。

(n=0)

(n=1)

(2) 在中低频率段(Ω约为0.1～1.5)，与自由液面的距离对输入功率流影响很大，在输入功率流峰值处表现得更为明显。

(3) 与自由液面的距离对圆柱壳结构的输入功率流的削减作用十分敏感，随着频率增加削减作用逐渐减弱。

(4) 相比而言，圆柱壳结构与自由液面的距离对圆柱壳结构的输入功率的影响明显大于与刚性壁面的距离。

(5) 随着圆柱壳结构与边界的距离的增加，边界的影响减弱。

6 结论

应用双反射理论结合镜像法，获得同时具有自由液面和刚性壁面边界的圆柱壳结构振动特性方程。通过数值计算，对比了直角声域内圆柱壳位置、频率对输入功率流的影响。数值计算表明：在低频段，与自由液面的距离对圆柱壳结构输入功率流的削减作用敏感；随着频率的增加，边界条件特性的影响逐渐减少。研究成果可为进一步分析复杂受控声域内的结构声振问题提供参考。