基于简谐振动两类基本问题的研究

张旭玲

摘要    本文从简谐振动的含义出发，详细给出了简谐振动需要重点掌握的两类基本问题，通过举例具体给出了解决两类基本问题的求解思路，用表格直观给出旋转矢量法，为学生深入理解简谐振动提供了良好的方法，在教学中起到了良好的效果。

【关键词】简谐振动 两类基本问题 解析法旋转矢量法

1 简谐振动

振动是波动的基础，单个简谐振动的理解和掌握是后续简谐振动合成及波动学习的基础。任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动，振动的形式多种多样，大多数比较复杂，而简谐振动是最简单最基本的振动，是研究复杂振动的基础。如果振动可以用时间的单一谐和函数（正弦或余弦函数）描述，称为简谐振动。教材中用学生容易理解的弹簧振子模型给出了描述简谐振动的动力学方程：

求解此微分方程，从而得到简谐振动的振动方程：

将（2）式对时间t求一阶导数，得到简谐振动物体的速度：

将（3）式对时间t求一阶导数，得到简谐振动物体的加速度：

描述简谐振动的三个主要物理量分别为：振幅A，周期T（频率v），相位。在教学中要求重点掌握单个简谐振动的两类基本问题：

（1）已知振动方程，求解描述简谐振动的相关物理量及振动的速度、加速度;

（2）已知相关物理量及物体的初始位置，求其振动方程。

2 简谐振动的两类基本问题

2.1 已知振动方程，求解描述简谐振动的相关

物理量及振动的速度、加速度求解思路：将已知振动方程与简谐振动的振动方程相对比，找出对应物理量。速度、加速度分别用位移对时间求一阶导数、二阶导数得到。

【例1】若简谐振动方程为：

求：（1）振幅、周期、频率和初相;（2）t=2s时的位移、速度和加速度。

（2）任意t时刻物体的位移、速度、加速度分别满足

2.2 已知简谐振动的相关物理量及物体的初始位置，求其振动方程

求解思路：求解振动方程就是将方程中的振幅A、角频率ω、初相位φ分别确定出来。一般题中会直接已知振幅和周期，通过可以求解角频率ω，所以求解简谐振动方程的难点在于求解初相φ。求解初相常用的方法有两种：一是解析法（三角函数法）;二是旋转矢量法。表1详细列出了旋转矢量与简谐振动的一一对应关系，旋转矢量的端点在Ox轴的投影点的运动表示物体在Ox轴上的简谐振动。表2给出在旋转矢量图上同样可以表示简谐振动物体的速度和加速度，匀速圆周运动物体的速率在Ox轴的投影表示简谐振动的速度，向心加速度在Ox轴上的投影表示简谐振动的加速度。【例2】一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅为，周期为。当t=0时，（1）物体在正方向端点处;（2）物体在平衡位置，向负方向运动;（3）物体在处，向负方向运动;（4）物体在处，向正方向运动.求以上四种情况的振动方程。

所以，弹簧振子的振动方程为：

所以，弹簧振子的振动方程为：

所以，弹簧振子的振动方程为：

与解析法所求初相相同，得到的振动方程也相同。

3 结语

简谐振动是“振动与波”教学中的重点与基础，简谐振动的两类基本问题更是本章教学的重点，本文给出两类基本问题的详细求解思路，为平面简谐波的学习奠定了良好基础。其中提到的第二类基本问题求解初相分别用解析法和旋转矢量法分析，在教学中起到了良好的教学效果。从学生的学习情况分析，解析法适合三角函数扎实的学生，旋转矢量法能直观、形象描述简谐振动，是教学的难点，本文通过表格给出旋转矢量与简谐振动的一一对应关系，更容易让学生理解。旋转矢量法除可以求解初相外，还可以求解简谐振动的时间差、比较相位关系、用于合振动的振动方程，用于机械波教学中，讨论光的干涉和衍射条纹分布和光强分布。

参考文献

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