高中导数问题里主元法的应用

王忠涛

【摘 要】主元法在导数中的应用主要体现在在函数单调、极值和最大值的研究以及不平等的证明等方面，是这类问题的核心解决办法，也体现了数字和图形相结合，以曲代直以及微积分思想的应用。对多个参数问题，可以选择一个主要元素，相当于选择了解决问题的方向。本文通过实例分析了主元法在高中数学导数问题中的应用，希望提供一些帮助给有需要的人。

【关键词】高中导数；主元法；应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）13-0275-01

一、现代数学中导数教学的问题

在传统的导数学习中，老师一般只是直观的讲解在学习中怎样利用导数解决问题，让学生自己对学习导数的知识点进行理解。导数的定义相对抽象，学生一般很难完全理解其概念，导致在实际的学习过程中不会应用，影响学生的学习热情。在学生学习导数的过程中，对参数的瞬时变化很难理解，这不利于学生后期的学习。老师也没有总结学生在学习过程中常见的错误，这具体的教学过程没有针对性，对学生理解和应用导数的影响很大。

二、利用导数解决问题提高学习效果

1.了解导数概念的本质，帮助学生建立坚实的基础。

在中学数学中，微积分的基本概念是导数和定积分，它们被广泛使用。要解决学生对理论的理解和在实际应用过程中的相关问题，就要使学生对理论知识有本质上的理解，减少在实际学习过程中对理论和形式的理解。在实际的导数学习中，教师可以通过一些学生更容易熟悉的实例来改善学生的接受力。例如，气球膨胀和跳水运动，我们可以从中感受到瞬间的变化，然后对瞬时变化率进行理解。在这个阶段，老师还可以使用曲线从几何和物理的角度进行讲解，以提高学生的理解力。

2.使用丰富的学习方法，让学生了解导数的几何意义。

学生只有对导数和几何意义的概念充分的掌握，才能对导数的含义深刻理解，才能使数学中导数的问题有效地解决。在高中数学中，导数的几何意义是关键点也是难点，首先老师要使学生认识割线的转动，然后详细解释，从极限的角度帮助学生理解导数的几何意义，有效的帮助学生解决相关数学问题。导数严谨的结构，需要强大的数学思维来计算导数的相关问题，在物理学和经济学领域的应用比较多。抽象的导数概念，使学生理解起来很费力，因此很容易使学生感到厌倦。对此，老师必须营造有利的学习环境，在适当的情景教学中引入导数概念，有助于学生理解导数的概念，从而保证导数学习的有效性。

3.从学生理解导数的难点入手，提高学习质量。

在学生解决函数问题时运用导数，首先，解決问题的技巧要让学生掌握，了解“定义领域”原则，然后老师指导学生求导。在学习过程中，老师应对学生在学习过程中遇到的难点知识应及时总结，然后制定有针对性的教学方法，以便及时解决学生遇到的难点知识，切实的帮助学生掌握导数解决问题的能力。例如，在（-1，1）上递增已知f（x），并且如果f（m+1）0，对实数m值的范围进行求解。在实际学习中，学生可能会混淆函数的单调区间与函数的单调性。为了解决这个问题，老师可以引导学生检查“=”权衡，学生也要及时向老师求助知识难点，这样对导数就会很容易掌握，有利于导数的应用，有助于学生的自主学习性。

三、在导数学习中利用主元法解决问题，提高导数的学习效果

主元法是指在利用两个或多个参数求解问题的过程中选择其中一个参数作为研究的主要对象，并将剩余的参数视为常量的思维方式。主元法在导数中的应用是把问题转换为关于主元素的公式，如方程或函数，这可以降低问题的复杂性，并使其变得简单起来。

1.变更主元法———巧解含参问题含参问题是高考的必考题型。主元法是处理多元问题的一种重要方法。当参数与主元存在确定函数关系时，变更主元不失为降低问题处理难度的有效途径。

例1：

（1）讨论函数f（x）=x-2x+2ex的单调性，并证明当x>0时，（x-2）ex+x+2>0；

（2）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=ex-ax-ax2（x>0）有最小值，设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域。

解：

（1）f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（-2，+∞）。

f′（x）=（x-1）（x+2）ex-（x-2）ex（x+2）2

=x2ex（x+2）2≥0

当且仅当x=2时，f′（x）=0，所以f（x）在（-∞，-2），（-2，+∞）单调递增。

因此，当x∈（0，∞）时，

f（x）>f（0）=-1

所以

（x-2）ex>-（x+2）

即

（x-2）ex+x+2>0

（2）g′（x）=（x-2）ex+a（x+2）x3

=x+2x3[f（x）+a]

由（1）知，f（x）+a单调递增，对任意a∈[0，1），有f（0）+a=a-1<0，f（2）+a=a≥0，因此，存在唯一y∈（0，2]，使得

f（t）+a=0，即a=-t-2t+2et①

当时0

当x>t时，f（x）+a>0，有g′（x）>0，g（x）单调递增。

于是，h（a）=g（x）max=g（t）=et-at-at2，将①代入，得h（a）=et-at-at2=ett+2=F（t），其中t∈（0，2]。

由F′（t）=（t+1）et（t+2）2>0，得F（t）在（0，2]上是增函数，所以F（t）取值范围为（F（0），F（2）]，即（12，e24]。

综上，函数的值域为（12，e24。

评注：本题中的表达式本来就是以a为主元的含参表达形式，但在a=-t-2t+2et中，用a的解析式表示t是几乎不可能实现的，而用t表示a比较容易，因此，变更主元为t，将二元化为一元，将h（a）转化为F（t）。用新主元t转换观察问题的角度，简化了问题处理难度，方便了问题的解决。

2.甄选主元法———巧解多元问题。

例2：（2016全国高考题）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点。

（1）求a的取值范围；

（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：。

解：

（1）f′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）

=（x-1）（ex+2a）

（i）若a=0，则f（x）=（x-2）ex，f（x）只有一个零点。

（ii）若a>0，则当x∈（-∞，1）时，f′（x）<0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0，所以f（x）在（-∞，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增。又f（1）=-e，f（2）=a，取b满足b<0且ba2（b-2）+a（b-1）2=a（b2-32b）>0，故f（x）存在两个零点。

（iii）若a<0，由f′（x）=0，得x=1或x=In（-2a）。

若a≥-e2，则In（-2a）≤1，故当x∈（1，+∞）时，f′（x）>0，因此f（x）在（1，+∞）内单调递增。又当x≤1时，f（x）<0，所以f（x）不存在兩个零点。

若a<-e2，则In（-2a）>1，故当x∈（1，In（-2a））时，f′（x）<0；当x∈（In（-2），+∞）时，f′（x）>0，因此f（x）在（1，In（-2a））内单调递减，在（In（-2a），+∞）单调递增。又当x≤1时，f（x）<0，所以f（x）不存在两个零点。

综上，a的取值范围为（0，+∞）。

（2）不妨设x1f（2-x2），即证f（2-x2）<0。

因为f（2-x2）=-x2e2-x2+a（x2-1）2，又f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0，故f（2-x2）=-x2e2-x2-（x2-2）ex2，x2∈（1，+∞）。

设g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，x∈（1，+∞），则g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）。

当时x>1，g′（x）<0，而g（1）=0，故当x>1时，g（x）<0，从而g（x2）=f（2-x2）<0，故x1+x2<2。

评注问题（2）中x1，x2，没有相互约束关系，要注意问题的串联，借助第（1）问的结论来证明。由单调性可知x1+x2<2等价于f（x1）>f（2-x2），由此甄选主元x2，即证f（2-x2）<0，实现二元问题化归为一元问题，利用函数思想加以解决，降低试题难度。

结束语

综上所述，对于高中数学，老师教学的指导作用要充分的发挥出来，让学生能够正确的理解导数问题并有效地解决，使学生能够有效的掌握利用导数解决问题的方法。老师必须认真的解决学生在学习过程中遇到的疑点和难点知识，引导学生对导数问题的理解和掌握，以提高导数学习的有效性。

参考文献

[1]岳峻.主元法破解极值点偏移问题[J].中学数学，2016（23）：54-56.