横看成岭侧成峰巧妙建模立新功

【中图分类号】G635.1 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）13-0269-01

多年来，陕西省数学中考试题第20题均利用解直角三角形为数学模型，以考察学生解决测高或测距等实际问题的能力。绝大多数学生在考试中是按照平时训练的方式循规蹈矩地解决问题。但是在2017年的评卷过程中，发现一些学生没有按照常理出牌，思维如天马行空，从一次函数的角度切入进行建模，巧妙地解决了试题中呈现的测距问题。

下面是2017年陕西省中考数学试题第20题：

某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳。小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离。测量方案如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米；然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米。请你利用以上所测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）。（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9265，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452）

学生妙解如下：

以点A为坐标原点，直线AN为x轴，直线AB为y轴，建立平面直角坐标系。如图2所示：

由题意可知，B、C两点的坐标分别是（0，1.7）、（0，1）

∠MBD=23°，∠MCE=24°

可直接写出直线BM、CM的解析式为：

直线BM y=tan23°x+1.7≈0.4245x+1.7

直线CM y=tan24°x+1≈0.4452x+1

解方程组y≈0.4245x+1.7y≈0.4452x+1 得：x≈33.8164y≈15.0551

即点M的坐标约为（34，15）

∴AN≈34m

即“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离约为34米。

从以上解法可以看出，该生具有较高的数学素养，能够将本题呈现的实际问题放到平面直角坐标系中进行研究，巧妙地利用一次函数作为数学模型，将测距和測高问题转化为求直线的交点问题，最终不仅求出了“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离，还多出了一个“副产品”——“乡思柳”的高度约为15米。另外还能够感知到，这位同学具有对数学学习的超前性，能学以致用地利用直线的“斜截式”直接写出一次函数的解析式，使本题的一次函数解法简洁的呈现出来。

那么，本题的这种解法是否属于“通性通法”呢？我们对比以下示例：

（陕西省2015年中考试题第20题）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高，于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图3，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ，请你根据以上信息，求出小军身高BE的长（结果精确到0.01米）

如图4所示建立平面直角坐标系坐标系，由题意可直接写出点A、C、D、B、F等点的坐标，从而利用待定系数法求得直线DM的解析式、点M的坐标、直线FM的解析式、点E的坐标，从而得解。与文章开始那道题不同的是，本题对于没有掌握直线“斜截式”有关知识的学生来说，也可以用这种方法顺利解决。

再对比其它类似试题，发现这种“一次函数解法”并非“无往不利”，存在着一定的局限性。但是作为老师，不应拘囿于某类问题应该用什么方法去解，而是将重点放在学生思维能力的培养和训练上，通过引导学习拓宽学生视野，让学生体会到学习数学的快乐，体验解决问题后的成功感和愉悦感，从而爱上数学、学好数学，有效提升其数学核心素养。这才是我们数学老师肩负的重任。

参考文献

[1]陆兵.中考微专题复习课：值得重视的一类课型——以“特殊直角三角形再认识”复习课为例[J].中学数学，2019（06）：32-33.

[2]张丽华.“教什么”比“怎么教”更重要——以“解直角三角形”教案打磨为例[J].中学数学，2019（04）：46-47+49.

[3]顾广林.用“结构化”引领复习课教学——直角三角形复习课的教学实录与反思[J].中学数学月刊，2017（12）：1-3+9.

作者简介：雷晓林（1973.9-），男，陕西合阳县教学研究室，高级教师，初中数学教学研究。