从教材走向应用 用模型探究考题

甘振军

[摘   要]近几年中考越发注重以教材问题为题源，通过适当的创新、拓展来综合考查学生的能力 .该类题型既综合了教材重要的公式、定理，又具有一定的创新性，对学生的思维能力要求较高，教师在教学中要引起重视.

[关键词]教材;模型;考题

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）14-0017-02

【问题起源】

“以教材为题源，从课本走向生活”是近几年中考的命题理念，考题命制越发注重紧扣教材、贴近生活，重视应用 .在八年级数学教材中有这样一道题：一位将军向古希腊海伦请教问题，他每天需要从军营A地出发，到河边l去饮马，然后再到河岸同侧的B地（如图1），想知道怎样选择饮马地点才能使整个行走路程最短 .本题就是教材著名的“将军饮马”问题 .

【衍生试题】

定义：如图2所示，点A、B为直线l同一侧的两个点，过点A作直线l的对称点[A']，然后连接[A'B]，交直线l于点P，连接AP，称点P为点A和B关于直线l的“等角点” .

运用：在图3所示的坐标系中，点A的坐标为（2，[3]），点B的坐标为（-2，[-3]） .

（1）在点C [4，32]、D [4，22]、E [4，14]三点中，点_______是点A和B关于直线[x=4]的等角点;

（2）若直線l垂直于坐标的x轴，而点[P（m，n）]是点A和B关于直线l的等角点，已知[m>2]，∠APB = [α]，试证明tan[α2] =[ n2];

（3）如果点P是点A和B关于直线[y=ax+b]（[a≠0]）的等角点，并且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=[60°]时，试求b的取值范围 .

【试题解答】

第（1）小题：分析点A和B关于直线[m=4]的等角点，首先需要作点A关于直线[x=4]的对称点[A']，可得[A']（6，[3]），然后求解直线[A'B]的解析式，可得[y=34x-32]，等角点就为直线[A'B]与直线[x=4]的交点，将[x=4]代入解析式，可得[y=32]，则等角点的坐标为[4，32]，应为点C .

第（2）小题：设定点[P（m，n）]为点A和B关于直线l的等角点，求证等式成立，等式的左侧是关于[α2]的正切值，因此需要构建∠APB的[12]角，等式的右侧中含有n，n为点P的纵坐标值.因此考题实际上就是构建[12] ∠APB的正切值与n的关系 .需要构建直角三角形 .而对于n值的求解，则需要结合上述的等角点的定义，构建相应的求解模型 .因此考题求解应为两步进行 .第一步，基于等角定义构建[α2]角，求解m;第二步，应用三角函数构建策略求证等式 .

点P是点A和B关于直线[x=m]的等角点，根据定义可知点A和[A']关于直线[x=m]对称，由对称性质可知PA=[PA']、∠APG = ∠BPH、∠A = ∠[A'].由几何知识可知∠APB=∠A+∠[A']，所以∠A=∠[A']= [α2] .

如图4，过点B作直线[x=m]的垂线，垂足为H，可证△AGP [?]△BHP，由相似性质可得[AGBH=GPHP]，将点坐标代入可解得[mn=23]，则[m=23n] .

在Rt△AGP中，tanA=tan[α2]=[GPAG]=[3-nm-2]=[3-n23n-2]= [n2]，得证.

第（3）小题：分析条件可知点P在以AB为弦，所对圆周角为[60°]，并且圆心在AB下方的圆上 .如果该圆与[y=ax+b]相交，设其另一个交点为点Q，如图5，根据对称性可知∠APQ=∠[A']PQ，进一步可证△ABQ为等边三角形，点Q为一定点 .根据几何性质可得点A（2，[3]），B（-2，[-3]），由三角形相似性质可得ON =[23]，NQ =3，则点Q的坐标为（3，[-23]）.根据待定系数法可得直线BQ的解析式为[y=-35x-735]，直线AQ的解析式为[y=-33x+73] .则点P的位置介于点A和B之间，只需要分别求点P与点A和B相重合的情形即可 .

当点P与点B相重合，则直线PQ和BQ重合，分析解析式可得[b=-735];当点P与点A相重合，则直线PQ和AQ重合，分析解析式可得[b=73] .

考虑到点P位于AB的下方，则取值范围为[b<-735]，且[b≠23]，或者[b>73].

【多解探析】

第（2）小题实际上还可以采用如下解题方法 .

方法一：用点的对称关系.

设直线[A'B]与x轴相交于点M，直线l：[x=m]与x轴相交于点N，连接MN，如图6所示 .

点A与[A']关于直线l：[x=m]对称，利用点的对称性质可得点[A']的坐标为（[2m-2，3]），图中的∠1与∠[A']的大小相等，均为[α2]，点[A']和B的y轴坐标值相加为0，即[yA'+yB=0]，所以两点关于点M对称 .由中点坐标公式可得[xM=m-2]，则MN=2，在Rt△PMN中，tan∠M=tan[α2]=[PNMN]= [n2]，得证 .

方法二：利用直线斜率.

已知点P （m，n）是点A和B关于直线[x=m]的等角点，根据等角点的定义可得点A关于直线[x=m]的对称点为[A']，利用点对称的性质可得其坐标（[2m-2，3]），又已知A（2，[3]），B（-2，[-3]），从而可求得直线[A'P]和[A'B]的斜率分别为[kA'P=3-nm-2]，[kA'B=3m] .由于直线[A'P]和[A'B]共线，则[kA'P]=[kA'B]，可解得[3m] = [n2] .同样在Rt△AGP中构建∠A的正切值，即tanA=tan[α2]=[GPAG=][3-nm-2]=[ n2]，得证.

【教学反思】

本题是以教材“最短路径”模型衍生的新定义题，从试题的求解过程来看，需要提升学生两方面的能力：一是解题模型的应用能力;二是问题转化分析的能力 .

下面提出几点教学建议 .

1.关注教材基础，开展知识迁移.上述考题的解题模型是教材中的“将军饮马”模型，该模型是求解线段最值问题的常用模型，其解题本质是一致的 .学生如能深刻理解教材内容，则在解题时可以快速地完成思路的构建 .因此在平时的教学中，需要教师重视教材知识的讲解，不仅要引导学生掌握基本的公式、定理，还要重视教材典型问题的讲解，从中提炼解题模型，指导学生掌握基本模型的解题思路 .在此基础上开展模型的拓展应用，让学生完成知识的迁移学习 .

2.加强思维拓展，培养创新精神.近几年的中考试题虽然注重从教材中衍生问题，但依然遵循“培养学科创新精神”的原则，即以教材知识为出发点，融合创新元素.如上述考题关于“等角点”的新定义 .该类问题有着较高的命题立意，如不对学生加以针对性指导，学生很容易陷入思维误区 .因此，在教学中，教师要注重知识的重组，鼓励学生勇于发现问题，探寻问题的解题方法，让学生在自主探究中获得思维的拓展 .同时，教师要适时地引导学生进行多解探析，培养学生全面思考问题的意识，激发学生的创新思维，提升学生的综合素质 .

（责任编辑 黄桂坚）