有趣的“数字金字塔”

◆林革

埃及的金字塔世界闻名，不仅因为它非常雄奇壮伟，还在于有关它的神秘传说，其中一些轶闻趣事一直被人们津津乐道。可以肯定的是，正是由于金字塔存在许多未解之谜，才给世人留下了想象的空间。在数学世界，也有类似神奇的“数字金字塔”，其中蕴含的数学玄机颇耐人寻味。

请认真观察上面这5个“数字金字塔”，你觉得它们有什么特别之处？乍一看，这5个“数字金字塔”形状一样，里面有5行，从上往下每行各填了1个数字、2个数字、3个数字、4个数字、5个数字，数字范围在 1～30，这些数字杂乱无章，要找出“数字金字塔”的特别之处似乎并不容易。果真如此吗？且听我细细道来。

请你随意想一个数字，这个数字在1至30这个范围内，然后默记于心，不要说出来，我把这 5个“数字金字塔”作为破解宝典，能轻松猜出你想的那个数字，而且保证脱口而出、分毫不差。整个过程你无需言语，只要根据我的指引点头确认或摇头否认你想的数字是否在①②③④⑤这5个“数字金字塔”中即可。

比如，你想的数字只在①、③这两个“数字金字塔”中，那么我可以肯定你想的数字为5；如果你想的数字只在③、⑤这两个“数字金字塔”中，那么我可以肯定你想的数字为20；如果你想的数字只在②、④、⑤这3个“数字金字塔”中，那么你想的数字必定为26；如果你想的数字只在①、③、⑤这 3个“数字金字塔”中，那么你想的数字必定为21……是不是很奇妙？值得说明的是，我不是能掐会算的半仙，也没有猜心的神通法术，瞬间得知你想的数字且无差错，凭的只是一个数字学小窍门——你想的数字在哪几个“数字金字塔”中，就把这几个“数字金字塔”顶端的数字相加，这可不费吹灰之力哟！没准有头脑有眼力的聪明人已经看出这个招数。至于“数字金字塔”的构造原理，大家将来可在二进制计数法中轻松找到答案。不过，这并不影响你现在跟别人小小卖弄一番哟。

如果你觉得“数字金字塔”挺有意思，探究未尽兴深入，那么，不妨看看下面这个比较特殊的“平方数金字塔”。

这“平方数金字塔”看上去工整匀称，极具美感，令人赏心悦目。你从中看出什么规律了吗？

没错，这个“平方数金字塔”的特征是：一个自然数n的平方等于从1开始的n个连续奇数的和，反过来说，从 1开始的n个连续奇数的和等于n的平方。简单地说，就是从1开始有几个连续奇数相加，那它们的和就是几的平方。

除此之外，还有更令人惊奇的“立方数金字塔”。

瞧，立方数也构造出了类似的金字塔：一个自然数n的立方可以写成n个连续奇数的和。仔细观察这“立方数金字塔”，你还会有意外发现：“数字金字塔”各层的奇数首尾相连，构成从 1开始的连续奇数的各层转折排列。第一层为1，第二层为 3、5，第三层为 7、9、11……第n层有n个连续奇数。不难判断，第n层连续奇数的范围应该介于 n×（n-1）和n×（n+1）之间，比如第6层由介于6×5=30和6×7=42之间的6个连续奇数组成，即63=31+33+35+37+39+41。

更具意趣的是，根据这个“立方数金字塔”，我们可以方便地求出从1开始的连续自然数立方之和。如13、23、33、43的和是“立方数金字塔”上面四层等号右边所有连续奇数的和，是1+2+3+4=10个连续奇数的和，即13+23+33+43=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。而根据“平方数金字塔”的特征，我们可以直接构造关联进行简便运算，即13+23+33+43=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102=（1+2+3+4）2=100。由此进行延展探究，我们可以得出下面的“数字金字塔”：

怎么样？这“数字金字塔”让人叹为观止吧？

小朋友们，我们认真观察数学现象，细心揣摩，深入领会和理解其中蕴含的数学原理，不仅能够充分感受数学的魅力，没准还会有所发现呢！