一类四阶偏微分方程的李对称分析、Backlund变换及其精确解

代慧菊 李连忠 王琪 沙安

摘要：利用齐次平衡法获得了一类四阶偏微分方程的B/icklllnd变换，进而得到方程的几组精确解;然后运用李对称分析方法，获得该方程的向量场，利用相似变换，把难于求解的非线性偏微分方程转化为易于求解的常微分方程，并通过求解所得到的约化方程，结合幂级数展开法，得到原方程的一系列精确解.

关键词：B/icklund变换法;

四阶偏微分方程;

李對称分析;

幂级数展开法;

精确解

中图分类号：0175.29 文献标志码：A DOI：10.3969/j.issn.1000-5641.2019.01.003

0引言

由于非线性偏微分方程在自然科学、工程技术等领域的应用越来越广泛，因此，寻找非线性偏微分方程的精确解成为数学家和物理学家的一个重要研究课题.近年来，有许多方法已用于寻求这类方程的精确确解，其中，李对称分析和Backlllnd变换法也都是研究非线性偏微分方程的常用有效方法.四阶偏微分方程在自然科学领域和工程技术领域中有着非常广泛的应用背景，它起源于物理学和应用数学的各个方面，特别是在弹性梁和稳定性理论中具有极其广泛的应用.本文研究如下这类四阶偏微分方程：

4基于幂级数法的方程的幂级数解

在这一节中，运用幂级数展开法对约化后的方程分别求其精确解，进而求得方程（1）的精确解.通过第3节的分析注意到，方程（33）和（36）具有相似的结构，均为四阶非线性非自治常微分方程，除特殊形式外，一般不能直接求得该类方程的解析解.但是该类方程的解在非线性理论及物理应用中十分重要.所以，这一节主要运用幂级数展开法来求解方程（36）.由于幂级数的各项均为最简单的多项式函数，因此在工程及近似计算中有广泛的应用.

假设方程（36）有如下的幂级数解

5结论

齐次平衡法与李对称分析都是求解非线性偏微分方程精确解的有效可行方法，具有广泛的应用.本文分别利用齐次平衡法和李对称分析研究了一类四阶偏微分方程，不但得到方程的Backlund变换，并求得方程的部分精确解，而且得到方程的对称性，然后运用相似约化的思想，将偏微分方程转化为常微分方程，结合幂级数法求解约化方程，进而得到原偏微分方程具有很强收敛性的幂级数解.