服务水平约束下动态定价与库存管理

段永瑞， 徐 超， 霍佳震

(1.同济大学 经济与管理学院，上海 200092; 2.博士—同济大学 全球供应链管理教席，上海 200092)

0 引言

在企业的实际运营中，库存管理一直起着重要的作用。良好的库存管理可以帮助企业降低成本，提高收益。另一方面，定价作为一种调节需求的工具，已经在企业中得到了广泛的应用。特别的，动态定价使得企业可以根据当前市场环境来确定价格，给予企业更高的决策自由度，从而受到企业的青睐。随着经济的发展和人们生活水平的不断提高，顾客在购物时不仅会考虑产品的价格与质量，还会考虑商家的服务质量[1]。研究表明，企业的服务水平会影响消费者的购买决策[2]。因此，企业在进行决策时，应考虑服务质量的影响[3]。在供应链与运营管理领域中，产品的库存服务水平是常用的服务质量指标[4]，在实际中得到广泛的应用[5]。库存服务水平表征了企业库存能完全满足需求的概率[6]，服务水平越高，则产品缺货的可能性越小。同时，良好的服务水平可以帮助企业获得更高的客户忠诚度，从而防止客户的流失[7]，反之，则会造成企业商誉的损失[5]。

鉴于服务水平的重要性，在进行定价和库存决策时，应考虑到对企业服务水平的影响。一些文献开始研究考虑服务水平的决策问题。当考虑服务水平时，企业的决策问题变为多目标优化问题，即同时追求更好的服务水平和更高的利润(更低的成本)。由于多目标优化问题的求解较为困难，文献中通常将多目标优化问题转化为服务水平约束下的最优决策问题。Gruson等[8]研究了服务水平约束下的批量生产计划问题。Abdelaal等[9]研究了存在服务水平约束的多产品选择问题，并给出最优求解算法。Minner和Transchel[10]针对易变质品的库存管理问题引入服务水平约束，并验证了动态库存管理策略优于静态库存管理策略。Jha和Shanker[11]研究了服务水平约束下的生产库存联合决策问题，并给出求解算法。戢守峰[12]等探讨了服务水平约束下的库存共享转运问题。Schulte和Pibernik[13]研究基于服务水平的差别定价问题，即企业提供多个服务水平和价格的组合供消费者选择，并给出差别定价优于无差别定价的充分必要条件。段永瑞等[14]研究了当产品需求依赖于服务水平时的易变质品库存策略，证明了解的存在唯一性，并给出了最优服务水平与补货策略。

在动态定价与库存管理领域，Federgruen和Heching[15]最先对动态定价与库存管理问题进行了研究，并证明了该问题的最优策略为base-stock/list-price 策略。Chen和Simchi-Levi[16]将该问题推广到考虑订货固定成本的情形，并证明了(s,S)策略的最优性。Zhang等[17]同时考虑了订货固定成本和供应能力约束，证明了该情形下企业的利润函数是强CK凹的，并给出最优补货策略。Feng[18]考虑了供应能力不确定的情形，并指出基于重补货点的策略是最优的。Chao等[19]研究了供应能力服从马氏过程的情形，给出了改进的base-stock/list-price策略。当订购存在提前期时，Pang等[20]通过引入L凸的概念，证明了利润函数的L凸性，并进一步刻画了最优解的结构性质。针对带有提前期的动态定价订购问题，Bernstein等[21]提出了一种有效的启发式算法，将高维问题转换为低维问题进行求解。当销售的产品为易变质品时，Chen等[22]证明了库存水平和最优需求随着库存向量的增大而增大。Hu等[23]研究了存在策略型消费者的易变质品动态定价订购问题，给出了问题的最优策略。当考虑参照价格效应时，利润函数的联合凹性不再成立。为此，Chen等[24]通过对原问题进行变换，将非联合凹问题转换为联合凹问题进行分析。Wu等[25]同时考虑了参照价格效应与策略型消费者，文章指出，产品的最优价格遵循均值回复过程。

为了帮助企业在定价和库存管理的同时兼顾服务水平，本文研究考虑服务水平约束的动态定价与库存管理问题。具体地，考虑一个企业在有限期内销售某种产品，产品的需求为随机需求，且期望需求依赖于产品价格。在每一期，企业需要同时决定产品价格与订购量，且最优决策应满足服务水平约束。我们使用随机动态规划对问题进行建模，并证明该问题为凸优化问题，从而保证最优解的存在性。由于引入了服务水平约束，问题的模型变得更加复杂，使得问题的求解变得更为困难。为了有效地对问题进行求解，我们通过对最优解的分析，对最优解的结构进行了刻画，并给出最优策略，将原问题的求解转化为若干子问题的求解，降低了求解难度。同时，我们证明了最优产品价格随着期初库存的增大而减小，即list-price 策略在服务水平约束下仍然成立。进一步分析发现，企业的目标服务水平和期望利润之间存在权衡。当企业追求更高的目标服务水平时，会遭受到利润损失。数值模拟表明，当目标服务水平变大时，动态定价策略下的利润损失小于传统的静态定价策略，从而验证了动态定价策略的有效性。当企业的目标服务水平变大时，其最优产品价格随之提高，期望需求降低。这说明良好的服务质量允许企业制定更高的价格，与此同时，企业专注于服务高端客户，目标客户群减小。对于库存方面，当目标服务水平变大时，企业的库存水平和安全库存均变大。这时，企业的库存成本变大，这说明为了达到更好的服务水平，企业需要承担更多的成本。

1 建立模型

考虑企业在T期内销售某种产品，每一期的编号倒序排列t=T,T-1,…,1。在第t期期初，企业观察到当期初始库存It后同时决定补货后库存水平xt和产品价格pt，且产品价格和库存水平应满足服务水平约束。此时，企业的订购量为xt-It，对应的订购成本为ct(xt-It)，其中ct表示单位订购成本。当企业完成定价与订购决策后，补货即时完成，接着随机需求实现。当需求小于企业库存水平时，剩余的库存转移到下一期，并产生相应的库存成本；反之，缺货情况出现，所有未满足的需求延迟到下一期满足，并产生相应的缺货成本。令Ht(z)表示库存成本与缺货成本函数，当z>0时，Ht(z)代表库存成本，z<0，则代表缺货成本。本文假设Ht(z)为凸函数[15]。

在第t期，产品需求Dt的表达式为Dt=εtdt(pt)+ηt[26]。其中，dt(pt)为期望需求，是产品价格pt的严格单调递减函数。εt和ηt为独立随机变量，其实现值为εt0和ηt0。随机变量εt刻画了和产品价格相关的市场随机扰动，ηt刻画了独立于产品价格的市场随机扰动。不失一般性，假设E(εt)=1,E(ηt)=0。 由于期望需求函数的严格单调性，价格可以表示为期望需求的函数pt(dt)。为了便于分析，本文接下来使用期望需求作为决策变量。当期望需求确定时，产品价格将随之确定。

下面考虑服务水平约束。在每一期，企业的服务水平St应不小于给定的目标服务水平S0，即St≥S0。根据定义，服务水平St可以表示为

St={εtdt+ηt≤xt}

(1)

接下来定义决策的可行集，企业的决策应满足初始库存约束和服务水平约束，从而可行集Ωt可以表示为

Ωt={(xt,dt)|xt≥It,xt≥f(dt)}

(2)

其中，第一个约束表明补货后库存水平应不小于期初库存水平，从而保证了订购量的非负性。第二个约束为服务水平约束，可以看出，服务水平约束与两个决策(xt,dt)都有关。

接下来，基于贝尔曼方程，给出企业的总期望折现利润的表达式，其形式如下

(3)

Jt(xt,dt)=ptdt-ctxt-E[Ht(xt-εt0dt-ηt0)]+

βE[vt-1(It-1)]

(4)

It-1=xt-εt0dt-ηt0

(5)

v0(I0)=c0I0

(6)

这里，vt为动态规划的价值函数，表示了企业的总期望折现利润，Jt为目标函数。通过式(3)和式(4)可以看出，企业的总期望折现利润由四部分组成。第一部分为本期销售收入ptdt，第二部分为订购成本ct(xt-It)，第三部分为库存成本和缺货成本，第四部分为未来收益到本期的折现βE(vt-1)，其中折现系数为β。 式(5)为状态转移方程，描述了企业的库存变动。可以看出，企业下一期的期初库存，等于本期补货后的库存水平减去最终实现的需求。式(6)为边界条件，当销售期结束时，若存在剩余库存，则以单价c0处理。若存在未满足需求，则以单价c0订货并全部满足。

2 最优策略

从式(3)～(5)可以看出，该问题为一个状态变量两个决策变量的随机动态规划问题，并包含两个约束，从而直接求解较为困难。为此，本文通过分析问题最优解的结构，给出最优策略，从而简化计算。首先给出本文的假设。

假设1函数pt(dt)dt关于dt为凹函数。

假设2服务水平约束函数f(dt)关于dt单调递增且为连续凸函数。

假设1表明企业收入pt(dt)dt关于期望需求dt边际效益递减，线性需求函数和指数型需求函数均满足该假设。对于线性需求函数dt(pt)=at-pt，其反函数为pt(dt)=at-dt。对于指数型需求函数dt(pt)=ate-pt，其反函数为pt(dt)=lnat-lndt。假设2表明当期望需求dt增加时，为了满足需求，企业需要提高库存水平f(dt)，常见的正态分布满足该假设。基于以上假设，可以得到如下结论。

引理1利润函数vt(It)关于It是凹函数，目标函数Jt(xt,dt)关于xt和dt是联合凹函数，可行集Ωt为凸集。

为了刻画问题的最优策略，引入下列子问题。首先给出子问题1，如下

maxJt(xt,dt)

(7)

接着给出子问题2，如下

(8)

最后给出子问题3，如下

(9)

基于上面的三个子问题，我们可以给出如下最优策略。

定理1最优决策可分为下列几种情形:

定理1表明，问题的最优解可分为四种情形。在求解时，首先求解子问题1，进而分情况讨论。对于情形一，子问题1 的最优解属于原问题的可行集，则该解即原问题的最优解。对于情形二，子问题1的最优解满足初始库存约束，不满足服务水平约束，则子问题2的最优解为原问题的最优解。对于情形三，子问题1的最优解满足服务水平约束，不满足初始库存约束，通过求解子问题3即可得到原问题的最优解。对于情形四，当初始库存约束与服务水平约束均不满足时，需要比较子问题2和子问题3的最优解，选取使得利润函数更大的子问题最优解作为原问题最优解。

接下来，分析初始库存对最优价格的影响，首先给出一个引理。

引理2问题的可行集Ωt是一个格。

定理2表明，当期初库存增加时，最优产品价格减小，期望需求增大。这说明，企业面临库存积压时，将选择降价促销，吸引更多的需求，以便于更好地处理积压库存。定理2说明，当考虑服务水平约束时，传统的list-price策略仍然成立。

下面分析服务水平约束对企业利润的影响，首先给出一个引理，揭示服务水平约束对库存水平的影响。

基于引理3，可以证明如下结论。

定理3总期望折现利润vt随着目标服务水平s0的增加而减小。

从定理3可以看出，当企业追求更高的服务水平时会遭受利润损失，这意味着企业无法同时追求利润与服务水平，即企业的目标服务水平和期望利润之间存在权衡。这是因为，当目标服务水平变大时，企业需要持有更多的库存，从而库存成本增加，利润减少。因此，企业应制定合理的目标服务水平，防止由于追求过高的服务水平所带来的不必要利润损失。

3 数值仿真

本节首先通过数值实验进行敏感性分析，研究不同目标服务水平下企业最优决策的变化。进而研究服务水平约束对企业利润的影响，并将本文提出的动态定价策略与传统的静态定价策略进行对比。最后通过算例，对最优策略给出直观的几何解释。

3.1 敏感性分析

下面给出实验的设定与参数。企业的销售期T=5，期望需求函数为d=50-p，折现系数β=0.99。令库存和缺货成本函数为二次形式H(z)=h(z+)2+b(z-)2，h=1为库存成本系数，b=2为缺货成本系数。为了刻画订购成本的波动，令c=[15,10,15,15,10]表示订购成本向量，边界条件c0=10。随机扰动项ε～N(1,0.1)，η～N(0,1)。当计算期望时，采用蒙特卡洛方法，产生5000组随机实现值进行估计。

首先分析服务水平的变化对最优价格与期望需求的影响，结果如图1。

图1 目标服务水平对最优产品价格和期望需求的影响

图1(a)给出了不同目标服务水平下的最优价格，图1(b)为对应的期望需求。从图中可以看出，当目标服务水平变大时，最优价格随之提高。因此，当企业决定采用更高的目标服务水平，提供更优质的服务时，企业会提高产品的定价，从而获得更高的边际收益。进一步，由于价格的提高，产品期望需求变小。这说明，当服务水平变高时，企业的目标客户群变小，即更倾向于服务高价值客户。综上，当服务水平较高时，企业会使用聚焦战略，缩小目标客户群，从单个客户获取更高的边际收益，同时提供更优质的服务。

接下来分析目标服务水平对最优库存水平和安全库存的影响，结果如图2。安全库存是企业为了应对需求不确定而准备的缓冲库存，可以表示为库存水平与期望需求的差，即Δt=xt-dt。

图2 目标服务水平对最优库存水平和安全库存的影响

从图2可以看出，当目标服务水平变大时，企业的最优库存水平提高，安全库存变大。当目标服务水平变大时，为了满足服务水平约束，企业需要相应地增加安全库存。随着安全库存的增大，企业的库存成本变大，因此，追求高的服务水平将承受利润损失。进一步，当目标服务水平变大时，企业的最优库存水平变大，即企业应持有更多的库存。

3.2 利润分析

下面分析服务水平约束对利润的影响，计算结果如图3所示。为了更好地量化引入动态定价对企业利润的影响，定义绝对利润差vδ=vd-vs，其中，vd代表动态定价策略下的期望利润，vs代表静态定价策略下的期望利润。进一步，定义相对利润差r=(vd-vs)/vs。

图3(a)给出了不同服务水平约束下动态定价与静态定价的期望利润。从图中可以看出，随着目标服务水平的变大，企业的利润随之降低。这是因为，当目标服务水平变大时，企业需要持有更多的库存，进而库存成本变大，利润降低。进一步可以看出，对于不同的服务水平约束，动态定价的期望利润一致好于静态定价。由图3(b)可以看出，动态定价与静态定价的利润差随着目标服务水平的变大而增大。图3(c)给出了不同服务水平约束下的相对利润差。从图中可以看出，随着服务水平约束的增大，相对利润差也随之增大。这个结论说明，当服务水平要求越高时，采用动态定价所带来的收益越大。

图3 目标服务水平对利润的影响

图4 期初库存对利润的影响

接下来分析期初库存对期望利润的影响。从图4(a)可以看出，企业的利润关于初始库存为凹函数。随着期初库存的变大，企业的利润先增大，再减小。这是因为，当期初库存较小时，最优库存水平大于期初库存，此时期初库存的变化不影响最优库存水平和产品价格。因此，当期初库存变大时，订购成本减小，利润增加。当期初库存较大时，企业需要打折促销来降低库存，从而导致利润损失。进一步，可以看出，对于不同的期初库存，动态定价策略的期望利润一致的高于静态定价策略。图4(b)(c)给出了不同期初库存下的绝对利润差与相对利润差。可以看出，随着期初库存的增大，利润差首先缓慢减小，进而快速增大。这是因为，企业的边际利润随着期初库存递减，且动态定价的利润大于静态定价利润，从而随着期初库存的增加，动态定价的边际利润先于静态定价的边际利润而减少，从而利润差变小。当库存水平进一步增大时，静态定价的边际利润也开始减小，由于动态定价下企业可以更好的匹配库存与需求，从而动态定价的边际利润减小幅度小于静态定价，从而利润差变大。这个结论说明，当期初库存越大时，相较于静态定价策略，动态定价策略可以获得更好的表现。当采用动态定价策略时，企业可以根据当前的期初库存水平动态调节产品的价格，从而更好地匹配供应和需求。采用动态定价策略给企业提供了更高的决策自由度，从而帮助企业更好地应对需求的波动，并获得更大的利润。

3.3 最优策略几何解释

图5 对最优策略的几何解释。(T=3,h=0.1,b=3)

4 结论

本文研究存在服务水平约束的动态定价与库存管理问题。在有限销售期内，企业需要满足随机需求，且期望需求依赖于产品价格。在每一期期初，企业观察到期初库存水平，进而同时决定产品价格和补货后库存水平。本文应用随机动态规划对问题进行建模，给出了企业总期望折现利润的表达式。进一步，证明了最优解的存在性，并给出最优策略。通过对最优解的分析，我们证明了最优价格随着期初库存的增大而减小，从而传统的list-price策略在服务水平约束下依然成立。通过分析目标服务水平对企业利润的影响，我们发现企业的服务水平与利润之间存在权衡。当企业提高目标服务水平时，会承受利润损失。从而，企业无法同时追求高的服务水平和利润。

数值模拟表明，相对于静态定价策略，动态定价策略可以降低追求目标服务水平所带来的利润损失。从而，通过引入动态定价策略，企业可以更好地兼顾服务水平与利润。当企业采用高目标服务水平时，最优产品价格变大，需求变小。此时，企业采用聚焦战略，缩小目标客户群，并将目标客户群集中在高价值客户上，从而赚取更高的边际利润。同时，当服务水平提高时，企业的库存水平和安全库存增加，从而成本增大，这意味着实现高的服务水平需要更高的成本。通过比较动态定价策略和静态定价策略的利润可以看出，对于不同的服务水平约束和期初库存，动态定价策略的利润一致高于静态定价策略的利润。进一步，当服务水平越高或期初库存越大时，引入动态定价所带来的利润提升会越大。