基于信息熵的光学成像系统分析

郭帅 付东翔

摘 要：根据光学成像系统输出的图像难以全面、准确判定像质好坏的缺陷，针对该问题提出一种新的评价方法。引入信息熵分析光学成像系统在不同像散下的信息传递能力，根据成像信息熵反应系统传递的信息量，评价光学系统性能。数值计算结果表明，信源通过系统后，在像散增加的情况下信息熵逐渐变化，其变化趋势与传统光学传递函数评价光学系统像质方法的结果一致，证明该方法有效且有一定的优越性。

关键词：信息熵;光学传递函数;光学系统;像散;成像质量

DOI：10. 11907/rjdk. 181497

中图分类号：TP303文献标识码：A文章编号：1672-7800（2019）001-0048-03

Abstract： A new evaluation method is proposed for the difficulty of comprehensively and accurately determining the image quality according to the image output by the optical imaging system.In this paper， information entropy is introduced to analyze the information transmission ability of optical imaging system under different astigmatic information， and the information entropy of the imaging system is used to evaluate the information of the system， and the performance of the optical system. The numerical results show that the information entropy changes gradually as the astigmatism increases after the source passes through the system. The change trend is consistent with the result of the traditional optical transfer function evaluation of the optical system image quality method， which shows the effectiveness and advantages of the method.

0 引言

光学成像系统是一种最基本的光学信息处理系统，用于传递二维光学图像信息，当信源携带输入信息从光学成像系统传播到像面时，输出的图像信息质量取决于光学系统传递特性。通常评价光学系统成像质量的方法有星点法、分辨率法及光学传递函数法等。星点法指检验点光源经过光学系统后产生像斑，由于像差等导致像斑不规则，很难对像斑定量计算和测量，易把主观判断带入检验结果中;分辨率法虽能定量评价，但并不能对可分辨范围内的成像质量给予全面评价[1];光学传递函数评价方法[2]通过研究系统空间频率传递特性，考察光学系统传递过程中的变化，可以综合分析评价系统成像质量，但因计算空间频率较复杂等因素，仍有不足。为在实际工作中能根据光学成像系统输出的图像直接判定光学系统输出的信息量，使分析更加方便，本文提出一种新的评价方法，利用系统成像信息熵分析光学系统在不同像散下的信息传递能力，以此评价光学系统性能。通过分析信息熵定义及计算方式[3]，计算点光源通过简单光学系统后在不同像散情况下成像的信息熵，发现其值变化趋势与光学传递函数评价光学系统像质方法的结果一致，表明信息熵可用于分析评价光学成像系统信息传递能力和光学系统性能。

1 信息熵

1.1 信息熵定義

信源指信息来源，一般以符号的形式发出信息。包含信息的符号通常具有随机性，当符号随机出现，常可用随机变量代表。

信源符号取值于集合：

每个输出符号常以等概率出现，即[pai=1n]，所以获取的符号信息量与n有关，n越大，未收到该符号的不定性愈大，而后解除该不定性，意味着收获信息量较大[4-5]。考虑到概率[pai]在0～1时，为方便、直观地获得信息量大小，选用负对数进行定义，对于一个有n个等概率值的信源符号，规定信息量为：

其中，要求信息量I为非负值，所以对数底须大于1。

关于对数底的选取要求包括：①以2为底，单位为比特（Binary Digit，bt），常用于实际工程;②以10为底，单位为Dit或哈特;③以e为底，单位为奈特（Natural Unit，Nat），常用于理论推导。

单一信源发出单一消息包含的信息量是一个随机变量，发出的消息不同，则含有的信息量也不一样[6]。任何单一消息的信息量都代表不了整个信源包含的平均信息量，不能作为整个信源的信息测度，所以定义信息量的数学期望为信源平均信息量，定义为信息熵（简称熵）。

根据整个信源统计特性定义熵，从数学期望表征信源总体特性[7]。对于特定信源的熵只有一个。不同的信源因统计特性不同，其熵也不同。熵一般用符号H表示，对数以2为底，单位为比特。变量不确定性越大，熵越大。

1.2 信息熵计算

图像也是信源符号的一种，对信源的推论可推及至图像信息熵[8]。图像信息熵是一种特征统计形式，描述图像信源的平均信息量[9]。为了能反映图像灰度分布的特征，选择图像的邻域灰度均值作为灰度分布的特征量，与图像的像素灰度组成特征二元组，记为（i，j）。其中i表示像素灰度值（[0i255]），j表示邻域灰度均值（[0i255]）。

式（3）反映某像素位置上的灰度值与其周围像素灰度分布综合特征，其中f（i，j）为特征二元组（i，j）出现的频数，N是图像尺度，定义图像的信息熵为：

构造图像信息熵可以在图像包含信息量的前提下，突出反映图像像素位置灰度信息和像素邻域内灰度分布综合特征[10-11]。

2 基于信息量的光学系统像散分析

2.1 光学传递函数评价分析光学系统

光学系统可看成是线性不变的系统，物体经过光学系统传递后，其频率不发生改变，但是对比度下降，相位发生推移，并在某一频率处截止，即对比度为零[12]。对比度降低和相位推移随频率变化而变化，其函数关系被称为光学传递函数。用光学传递函数评价光学系统成像质量，是基于把物体看作由各种频率的光谱组成[13]，也就是把物体的光场分布函数展开成傅里叶级数或傅里叶积分的形式。因为光学传递函数与光学系统的像差和光学系统衍射效果有关，所以可用于评价光学系统的成像质量[14-15]。

光学传递函数能反映光学系统对物体不同频率成分的传递能力。高频部分反映物体细节传递情况，中频部分反映物体层次传递情况，低频部分则反映物体轮廓传递情况，但是表明各种频率传递情况的则是调制传递函数（MTF）[16-17]。MTF表示各种不同频率正弦强度分布函数经光学系统成像后，其对比度（即振幅）衰减程度。理论上像点中心点亮度值等于调制传递函数曲线所围的面积[18-19]，曲线所围面积越大，光学系统传递的信息量越多，光学系统成像质量越好，图像更清晰。

根据以上仿真结果可以看出，当空间频率很低时，MTF 趋于1;当空间频率提高，MTF 值逐渐下降，MTF曲线可以大致反映光学系统传递能力[20]。同时随着光学系统像散的增加，MTF所围面积变小，表明系统传递信息量变少，成像质量下降。MTF曲线大体可以反映光学系统成像质量，为了有更高效、精准的评价方法，提出一种新的用信息熵评价光学系统成像质量的方法。

2.2 基于信息量的光学系统成像分析与计算

图像熵反映图像平均信息量的多少。可以通过计算图像邻域灰度均值计算得到图像二维熵，使其可以在图像包含信息量的前提下，突出反映图像像素位置灰度信息和像素邻域内灰度分布综合特征，因此可以通过信息熵的大小判断光学系统传递信息量的多少。

为了更好地对比，将点光源作为信源输入到一个简单的光学系统中，得到经过光学系统处理的图像，利用Matlab软件读取图像中的数据，将该数据编程，求得每一个数据3*3邻域内的灰度均值，再与图像像素灰度组成特征二元组，代入公式（4）中，即可计算出图像的二维熵。结果如表1所示。

3 结语

利用信息熵的概念分析光学系统在不同像散下的信息传递能力，是一种新的评价方法。光学系统在不同像散下成像的信息熵可表征系统传递信息量的多少，从而反映光学系统传递能力，与光学传递函数评价方法相比，两者结果一致，即信息熵反映了光学系统传递的信息量。因此可通过计算系统在不同像散情况下成像的信息熵，分析光学系统传递信息的能力，评价光学系统性能，仿真实验验证了该评价方法的有效性和可行性，为以后评价光学成像系统提供了更为客观的依据，弥补了传统评价方法的不足。

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（责任编辑：江 艳）