斐波那契数列的应用研究

(黄山学院、数学与统计学院 安徽 黄山 245041)

一、关于“数学文化”课程

“数学文化”课程，是近年来为加强大学生文化素质教育而在各高校相继开设的一门素质教育类课程,一般为公共选修课，供学过高等数学、线性代数等数学基础课程的各专业学生选修，主要以一些较浅显的数学知识为载体，让更多的学生了解数学、喜欢数学，一般以一些有趣的数学问题为背景，激发学习兴趣，讲授数学的方法和思想，让学生们能够以数学的视野来看待生活，提高学生专业素质和文化素质。

“数学文化”课程涉及到的内容相当宽泛，一般不设固定的教材，常以专题形式呈现。比如可设数学发展简史、著名数学问题、数学方法论、数学与其它文化的关系、中西文化差异比较、数学美等等专题。由于该课程是针对所有专业开设的一门校公共选修课，选修该课程的既有理科学生也有文科学生都有，并且可能涵盖二至四年级，考虑到他们的数学基础以及兴趣点的不同，因此在选题和讲授时注意理论性与趣味性相结合、知识性与思想性相结合、数学与人文相结合、深度广度与学生的数学基础相结合。

数学文化课程开辟了一条有效的途径，可以让大学生们从更多层面来了解和认识数学。让他们知道学好数学不是为了会做题、能应付考试，而是要准确地了解和把握数学的思想和精神，面对今后工作和生活中可能出现的诸多纷繁复杂的事情，能够更“数学地”思考和处理问题，更具理性和创造性。

二、关于斐波那契数列

斐波那契数列是由意大利著名数学家斐波那契在叙述“生兔子问题”时从一个简单的递推关系产生，引出了一个充满奇趣的数列：每一项都是正整数，但它的通项公式却是用无理数来表达的；证明通项公式的方法非常之多，分别涉及到数学归纳法、等比数列、矩阵理论、微分方程、幂级数、母函数等等知识点和不同的数学分支；有着很多的数论方面的性质，一些新的性质却还在不断的发现之中；它与植物生长等自然现象紧密相关，同时亦与几何图形、黄金分割、杨辉三角、矩阵运算、连分数等数学知识有着非常微妙的联系；除了在数论中被用来证明一些重要的定理和性质外，在生活中与优选法、计算机科学、股票理论中也得到了广泛应用。

三、斐波那契数列的定义

(一)拼图问题

图1

同样的四块拼图拼出来的图形,面积怎么可能不相等呢？问题出在哪里？这个长方形中多出来了一个单位的面积,这个面积又在哪儿呢？这样的拼图问题是由3,5,8这一组数所引起的个别现象呢还是说有可能会是一个比较普遍的情形？要很好地回答这一系列问题,我们得从斐波那契数列来谈起。

斐波那契是中世纪意大利的著名数学家,他曾率先将阿拉伯数字和十进位制计数法引入欧洲,并对欧洲数学的发展产生了深远的影响。1202年,他在其著作《算盘书》中提出了著名的兔子问题。

(二)兔子问题

假设一对出生兔子一个月以后成熟,而一对成熟兔子每个月都能生下一对小兔子，那么,由一对出生兔子开始,12个月时一共会有多少对兔子呢？结论：到十二月时有兔子144对。

我们将每个月的兔子对数排成一个数列:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…

不妨设F(x)=1+x+2x2+3x3+…+Fnxn-1+…，

从第三项开始,将递推关系代入,

由函数的幂级数展开式的唯一性,比较幂级数的系数即得:

四、斐波那契数列的性质

黄金分割数在自然和社会中有着极其广泛的应用,它是工艺美术、建筑、摄影等诸多艺术门类中影响人们审美的一个重要因素之一。20世纪70年代,华罗庚先生根据黄金比提出了优选法,并在全国范围内推广,产生了广泛的社会影响。

斐波那契数列的有趣的和有用的性质还有很多,并且依旧处于不断的发展壮大之中。斐波那契数列自从19世纪末成为热门的研究课题以来,一直就不乏追随者。迄今为止依然有很多的学者在执着地研究它的性质和应用。