二元一次方程不定解的应用

◎李胜军

我们知道，二元一次方程有无穷多个解。虽然二元一次方程的解是不定的，但每一个解是一对未知数的值，这一对数具有一定的相关性，在实际问题中尤为突出。下面以2018年中考试题为例来说明。

一、利用二元一次方程的非负整数解解决问题

例1 （2018·黑龙江）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元。在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ）。

A.4种 B.3种 C.2种 D.1种

【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总费用+购买排球的总费用=1200”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得解。

解：设购买篮球x个，排球y个，根据题意得120x+90y=1200。

∵x、y均为非负整数，

∴购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有4种。故选A。

例2 （2018·黄石）小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏，规定：一局比赛后，胜者得3分，负者得-1分，平局两人都得0分。小光和小王都制订了自己的游戏策略，并且两人都不知道对方的策略。

小光的策略是：石头、剪子、布、石头、剪子、布……

小王的策略是：剪子、随机、剪子、随机……（说明：随机指石头、剪子、布中任意一个）

例如，某次游戏的前9局比赛中，两人当时的策略和得分情况如下表：

2 1 3布剪子-1布 3 -石头剪子3-1 4石头石头剪子剪子1 5 剪子3 6布剪子-1局数小光实际策略小王实际策略小光得分小王得分局数小光实际策略小王实际策略小光得分小王得分局数小光实际策略小王实际策略小光得分小王得分0 0 7 石头0 0 8 剪子剪子3-1石头-1 3 3 9布剪子-1 3

已知在另一次游戏中，50局比赛后，小光总得分为-6分，则小王总得分为_______分。

【分析】观察二人的策略可知：每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小光拿-1分，第五局小光拿0分，进而可得出50局中可预知小光胜9局、平8局、负8局。设其他25局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25-x-y）局，根据50局比赛后小光总得分为-6分，即可得出关于x、y的二元一次方程。由x、y、（25-x-y）均为非负整数，可得出x=0、y=25，再由胜一局得3分、负一局得-1分、平局不得分，可求出小王的总得分。

解：由二人的策略可知，每6局一循环，每个循环中第一局小光拿3分，第三局小光拿-1分，第五局小光拿0分。

∵50÷6=8（组）…2（局），

∴（3-1+0）×8+3=19（分）。

设其他25局中，小光胜了x局，负了y局，则平了（25-x-y）局，根据题意得

19+3x-y=-6，

∴y=3x+25。

∵x、y、（25-x-y）均为非负整数，

∴小王的总得分=（-1+3+0）×8-1+25×3=90（分）。

故答案为90。

二、利用二元一次方程解的整体相关性解决问题

例3 （2018·台湾）某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同。阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元。如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元。若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？（ ）。

A.360 B.480 C.600 D.720

【分析】设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据阿郁身上的钱数不变得出方程3x+7y-240=7x+3y+240，化简整理得y-x=120。那么阿郁最后购买10盒方形礼盒后身上的钱会剩下（7x+3y+240）-10x，化简得3（y-x）+240，将y-x=120代入进行计算即可。

解：设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，则阿郁身上的钱有（3x+7y-240）元或（7x+3y+240）元。根据题意得

3x+7y-240=7x+3y+240。

化简整理，得y-x=120。

若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下：（7x+3y+240）-10x=3（y-x）+240=3×120+240=600（元）。故选：C。