分解因式的技巧方法

李燕

摘要：分解因式是初中数学的重要内容之一，而教材限于篇幅，重点介绍了因式分解的几种常用方法，而对解题技巧的介绍还不够.本文对因式分解的若干技巧作一补充分析，以期对学生学好这部分知识有所感悟.

关键词：技巧;灵活;分解因式

1巧用均值代换

例1在实数范围内分解因式（2x+9）4+（2x+1）*-904.

（2x+9）+（2x+1）

解设y=-T22

则（2x+9）*+（2x+1）+-904

=（y+4）*+（y-4）+-904

=[（y+4）2+（y-4）2]2-2（y+4）-（y-4）2-904=4（y2+16）2-2（y2-16）2-904

=2y”+192y2-392

=2（y+96y-196）

=2（y2-2）（y2+98）

=2（y+2）（y-v2）（y+98）

=2（2x+5+/2）（2x+5-12）（4x2+20x+123）.

评注取其算术平均值（也称取中值）为新变量是这道题的关键，如果采用直接配方或直接展开，不仅麻烦而且不易于分解”.

2巧用倒数代换

例2在有理数范围内分解因式2x4+3x3-5x2+3x+2.

解原式=x2（2x2+3x-5+-3、2

=x[2（x2+气）+3（x+-）-5]

=x°[2（x+=）2+3（x+二）-9].

设y=x+一，则

原式=x（2y2+3y-9）

=x（2y-3）（y+3）

=x（2x+3）（x+-+3）

=（2x2-3x+2）（x3+3x+1）.

评注本题所给多项式是一个对称型多项式，凡是对称型多项式分解因式都可采用倒数代换的技巧求解.

3常量代换技巧

例3在实数范围内分解因式x+-10x3-2（a-11）x2+2（5a+6）x+2a+a2，其中a为非负数.

解把原多项式整理成关于a的二次三项式，把x视为常数，a视为未知数.

a2-2（x2-5x-1）a+（x4-10x3+22x2+12x）=（a-x2+6x）（a-x2+4x+2）=（x2-6x-a）（x2-4x-2-a）=（x-3+v9+a）（x-3-v9+a）（x-2+√6+a）（x-2-√6+a）.

评注本题把未知数看成为常数，常数反而视为未知数的这种反客为主的常量代换技巧，是对学生习惯思维（定势思维）的冲击，如果学生能灵活运用这种技巧，可以迅速解题.

4巧添项

例4在实数范围内分解因式x5+x+1.

解此题添上平方项x2-x2，原多项式变形为x-x2+x2+x+1，前两项为一组，后三项为一组，于是

x+x+1=（x-x2）+（x2+x+1）

=x2（x3-1）+（x2+x+1）

=（x2+x+1）（x3-x2+1）.

评注添项是分解因式中常用的技巧，至于添哪一项，这要因题而定.一般地，要进行多项试验添项后进行适当分解，然后转化为学生熟悉的分解因式法的问题.

5巧拆项

例5在有理数范围内分解因式x4-11x2+1.

解此題把11x2分拆成9x2+2x2，拆项后，再用分解因式法.

x4-11x2+1

=x4-2x2+1-9x2

=（x2-1）2-9x2

=（x2+3x-1）（x2-3x-1）.

评注拆项与添项一样是因式分解中的常用技巧，此题拆11x2为9x2与2x2之和是关键.

6巧用观察法

例6分解因式x3+6x2+11x+6.

解此题是按x降幂排列的多项式，并且奇次项系数之和等于偶次项系数之和，这个多项式必含有x+1这个因式，于是

x3+6x2+11x+6

=（x+x2）+（5x2+5x）+6x+6

=x（x+1）+5x（x+1）+6（x+1）

=（x+1）（x2+5x+6）

=（x+1）（x+2）（x+3）.

例7在实数范围内分解因式x3+6x-7.

解此题是各项系数之和为0，故多项式必含有x-1这个因式，于是

x3+6x-7

=x3-x+7x-7

=x（x2-1）+7（x-1）

=（x-1）（x2+x+7）.

评注观察法对于处理像例6.例7这两种情形;奇次项系数之和等于偶次项系数之和或各项系数之和为零，非常方便.

7巧用恒等变形

例8在有理数范围内分解因式（4x+5）2（2x+3）（x+1）-7.

解此题从表面上看是不能直接运用所学过的各种方法，即使展开，分解起来也十分繁杂面对该多项式巧妙地进行恒等变形，把x的系数都变成相同的.

（4x+5）”（2x+3）（x+1）-7

=-[（4x+5）2（4x+6）（4x+4）]-7

=-[（4x+5）-（4x+5+1）（4x+5-1）-56]=8{（4x+5）2[（4x+5）2-1]-56}

=-一[（4x+5）4-（4x+5）2-56]

=-[（16x2+40x+17）（16x2+40x+32）

=（2x2+5x+4）（16x2+40x+17）.

评注凡形如（A，B+B{）（A2x+B2）（A3x+Bg）（A4x+B4）+C这种类型的多项式分解因式，把未知数的系数变成相同，是解这类题目的关键【2】.

参考文献：

[1]杨昊.因式分解三步曲[J].初中生世界，2015（13）：71.

[2]宋林.常见的因式分解方法探究[J].中学教学参考，2015（11）：47.