基于插值法的潮汐预测问题研究

张晓勇

摘 要：该研究通过两种数学插值方法对某一时间段的潮汐开展实证研究，以此为基础利用插值函数对潮汐现象进行预测。然后，对潮汐数据进行仿真和模拟处理，构造函数曲线。结果发现：与其他的Lagrange插值法、New-ton插值法等的相比，虽然三次样条插值方法的计算量是比较繁琐且庞大的，但是由于它能提高拟合曲线的光滑度，在潮汐变化及预测的应用研究中的效果较好。

关键词：潮汐 Lagrange插值 三次样条插值

中图分类号：P731.23 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）02（b）-0241-03

Abstract： This paper presents an empirical study of tidal time over a certain period of time using two mathematical interpolation methods， and uses this function as a basis to make predictions using interpolation functions. Then， the tidal data is simulated and simulated and the function curve is constructed. Using Lagrange interpolation and cubic spline interpolation in tidal numerical simulation and prediction， it is found that compared with other Lagrange interpolation methods， New-ton interpolation methods， etc.， although the calculation of cubic spline interpolation method is relatively tedious and Huge， but because it can improve the smoothness of the fitting curve， it works well in applied research of tidal changes and prediction.

Key Words： Tidal； Lagrange interpolation； Cubic spline interpolation

潮汐能是一種清洁、保护环节、对维护生态平衡有重要作用的可再生能源，在工业、农业和国防建设方面有着巨大作用。海岸河口更是有着人口密度大、经济较为发达和开发程度较高的优势。即使在现代的科技社会，捕鱼、晒盐仍要利用潮汐涨落的规律，海上的航行，更与潮汐、潮流紧密相关。许多港口大船要等高潮水深时才能够进驻；航船无论是在海上航行或者是驶离码头，都要利用到潮汐的特性。建筑海港，更要考虑潮汐潮流长期的变化规律，使它既不会被淹没淤塞，又能节约造价成本。这些都说明潮汐的预测和分析对河口海岸和相关的管理部门有着重大的意义。只有对其进行深入研究，我们才能对其更好地进行开发利用。

函数插值在实际生活中的应用非常广泛，如人口预报问题、潮汐预测、土地勘测、地貌生成技术问题等，研究人员可以通过插值与拟合的基础知识和计算方法来解决实际问题，运用科学的计算方法和MATLAB实验来使人们的工作变得更加高效、科学。在现实生活的潮汐预测过程中，就常用到插值的方法。由于监测指标的监测点不可能密布整个潮汐发生区域，同时，区域监测点数量有限、分布不均，一般采用空间插值的手段建立潮汐拟合模型来解决，提高潮汐预测的科学及合理性。

从理论来说，通过对潮汐数据的插值方法的研究，去深入分析不同潮汐类型的物理过程和分潮组成，提出可以应用于不同类型的潮汐数据的插值新方法，具有一定的理论意义。在生活中的其他领域，通过对插值问题的性质与求解方法的研究，可以发现在许多实际问题的解决过程中，经常涉及到大量数据条件下，采取适当的数学方法给出拟合函数的情况。如今我们正身处数据时代之中，解决像这样的大样本数据插值问题已经成为时代发展的必经之路。

1 三次样条插值

插值法能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的函数值近似替代被计算函数的函数值。这是一种重要的数据处理方法，是离散数据的公式化。对于潮汐预测问题来说，由于监测指标的监测点不可能密布整个潮汐发生区域，同时，区域监测点数量有限、分布不均，所以利用多项式插值就可以较为简便地建立一个潮汐拟合模型来解决，从而提高潮汐预测的科学及合理性。下面，该文把常见的三次样条插值方法做一个简单的介绍。

1.1 三次样条函数的定义

在插值区间[a，b]上取n+1个插值结点

已知函数在这n+1个点的函数值为

则在[a，b]上函数的m次样条插值函数满足如下条件：

（1）在（a，b）上直到m-1阶导数连续；

（2），k=0，1，2，…，n；

（3）在区间（k=0，1，2，…，n-1）上，是m次多项式。

1.2 三次样条函数的推导与计算

在[a，b]上函数的三次样条插值函数满足：

（1）在（a，b）上0、1、2阶导数连续，即：

，，（k=0，1，2，…，n-1）

（2），k=0，1，2，…，n；

（3）在区间（k=0，1，2，…，n-1）上，是三m次多项式。

由二阶导数连续，设（k=0，1，2，…，n），mk是未知待定的数。因是分段三次多项式，则在每个区间内是分段一次多项式，记：

则

将上式在区间上积分两次，并且由等式、可以确定积分常数。当时，

利用一阶导数连续的性质，对上式求导可得：

在上式中，令，得：

将上式中的k换成k-1得在上的表达式，将代入，

而联立上述两式，得到关于m的方程：

整理可得：

上式中，等式左边含未知量mk-1、mk、mk+1，等式右边yk-1、yk、yk+1是已知的，令，

则得：

因为三次样条插值方法将插值曲线的整体光滑度进行了提高，所以其应用广泛，但从上述计算过程不难发现，它的计算量是比较繁琐且庞大的。

2 基于插值方法的潮汐预测

2.1 数据收集及整理

根据中国海事网潮汐实时发布的数据，该课题采集了天津塘沽港口潮汐观测站2018年4月15日的数据。这里需要说明的是，该研究采集数据的时间步长为1小时（h），超高的单位为厘米（cm）。该课题选取天津塘沽港，作为潮汐现象的试验区与数据采集地。之所以选取天津塘沽港潮汐现象作为研究对象，主要有以下两点原因：（1）天津塘沽港潮汐属于不规则日潮，不规则日潮作为潮汐现象的一种类型具有较多的不确定性，当前的研究尚未明确其变化规律；（2）天津塘沽港潮汐地作为我国海潮的观测站之一，数据易于采集。

2.2 基于插值方法的潮汐预测

2.2.1 Lagrange插值法

在上述分析的基础上，该研究基于Lagrange插值法，利用MATLAB2014（b）编写程序，对天津塘沽潮汐观测站的数据进行插值计算与数值仿真，所得的仿真结果为：

2.2.2 三次样条插值法

在上述分析的基础上，该研究基于三次样条法，利用MATLAB2012（b）编写程序，对天津塘沽潮汐观测站的数据进行插值计算与数值仿真，所得的仿真结果如图1所示。

从上一节中可以看出，基于Lagrange插值法与三次样条插值法的天津塘沽港口潮汐仿真与模拟效果存在着较大的差别，主要有以下两点。

（1）Lagrange插值法的潮汐变化整体走势基本符合要求，但是在非插值点存在较大的误差，且在潮汐仿真的尾部出现严重的龙格现象，导致预测效果近乎失真；但是，这种的方程较为简单，并且可以求解。

（2）三次样条插值法的潮汐变化整体走势符合要求，与原始的观测数据几乎吻合，效果较好；同时，在非插值点存在没有较大的误差，且在潮汐仿真的尾部没有出现龙格现象。但是，三次样条插值的方程过于复杂，难以用数值软件进行处理。

2.3 潮汐结果预测

在上述研究结果的基础上，该研究基于4月15日的观测数据对4月16日的观测数据进行了预测。这里由于基于Lagrange插值法的数值仿真效果失真（预测的结果如表1所示），故仅采用三次样条插值法进行预测，预测结果如表2所示。

从表1与表2中可以看出：基于三次样条插值法的天津塘沽潮汐预测结果与真实数据相差不大（数值相差不超过15CM），相对误差的浮动率均在0～5%之间。而，朗格朗日插值法的误差较大，数据失真（出现严重的龙格现象导致）。这一数据分析说明，三次样条插值的效果相对较好，是一种研究潮汐变化相对较好的函数。

3 研究总结

通过上述研究过程的梳理，该研究主要得出如下一些结论：虽然三次样条插值方法的计算量是比较繁琐且庞大的，但是由于它能提高拟合曲线的光滑度，在潮汐变化及预测的研究中具有重要的作用。与其他的Lagrange插值法、New-ton插值法等相比，对潮汐变化数据的仿真与预测效果相对较好。

该研究的不足在于对天津塘沽潮汐变化数据的采集周期相对较短；三次樣条插值的方程难以计算。由于潮汐变化数据的整体变化规律近似于三角函数，基于傅里叶函数的变换与拟合方法，应该更适合于这项研究，但是由于傅里叶变换过程较为繁琐，还需要数学、地理学、统计学等的专家与学者对傅里叶函数的变换与拟合在潮汐变化仿真与预测进行进一步的深入研究与分析。

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