关于无平方因子数的密率问题

华国栋

【摘要】本文给出在自然数集合中满足无平方因子数的密率的精确公式，证明了这个密率公式与Riemann-ζ函数之间深刻的联系.

【关键词】无平方因子数;密率;Riemann-ζ函数

【基金项目】本文得到教育部和国家自然科学基金项目的大力支持.

一、引 言

数论作为数学中重要的一个研究方向，在数学中有重要的地位.数论的研究对象是整数，数论的问题表述很容易理解，但是证明却有相当大的困难.数论属于纯粹的数学，数论的研究领域广泛，有很多的分支学科，比如，初等数论，代数数论，数的几何等.数论中对不同的研究分支形成了特定的研究方法与研究的范式，这些方法从数学中的其他分支如分析学，代数学，泛函分析等不同的领域借鉴方法，在整合数论中的各种问题中，形成丰富多彩的数学思想与理论.数论的集大成者高斯曾说：“数学是科学的女皇，数论是数学的皇冠”.这表明数论在数学中的重要地位，数论作为纯数学对促进数学本身的理论发展与完善发挥着重要的意义.

整数是数论中最常见的对象，我们一般而言处理对象是正整数集合，我们把正整数集合记作N.数论中组成正整数的基本单元是素数，素数一般用p表示，算术基本定理表述为每一个正整数都可以表示为素数的乘积，在不计次序的情形下是唯一表示的.无平方因子数定义为对任意的素数p，如若满足对正整数n有p2n，那么n称之为无平方因子数.我们定义如下的表达式：

Q（x）=#{n≤x：n是无平方因子数}，

那么一个很自然的问题是：对Q（x）而言在正整数集合中的密率为多少，即数学表达式Q（x）x在x→∞时的比值是否存在，如若存在，这个确切的值具体是什么数.我们从直观上可以这么理解，我们需要在集合N中删去所有22的倍数，然后刪去所有32倍数，依次类推，需要删去所有是素数平方的倍数.根据概率的方法，我们可以有如下的猜想：

【参考文献】

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