一种新型GO法操作符及其在多态系统中的应用

江秀红， 段富海， 胡爱玲

(1.沈阳航空航天大学 电子信息工程学院, 辽宁 沈阳 110136； 2.大连理工大学 机械工程学院, 辽宁 沈阳 116024)

0 引言

目前，针对复杂系统的可靠性分析一般假设系统及其组成单元只有成功和故障两种状态。例如常用的可靠性框图和故障树(FTA)等系统可靠性分析方法，一般将研究对象划分为成功和故障两种状态，用“是”与“否”的二值逻辑关系来描述系统能否完成规定的功能。近年来，系统日益朝着大型化、复杂化、精密化、智能化的方向发展，这时再将系统及其组成单元粗略的划分为两种状态，显然不符合实际情况，也不能很好地解决复杂系统的诸多可靠性分析问题[1]。

多态系统(MSS)是指具有两种以上性能状态(或称工作效率状态)的系统[2-3]。与二态系统相比，MSS能够更好地揭示系统潜在的失效机理、预测系统剩余寿命[2]。但MSS的非布尔逻辑属性增加了系统可靠性分析难度，目前MSS采用的可靠性建模和分析方法主要有4大类：1) 基于二态系统布尔模型扩展出的多值模型[4-6]；2) 随机过程模型[7-9]；3) 通用生成函数(UGF)[10-11]；4)随机仿真等[12-13]。GO法是一种有效的系统可靠性分析方法，非常适合解决多态复杂系统可靠性建模分析问题，目前已在核电、电网配电、轨道交通等高可靠领域得到成功应用[14-16]。但纵观现有的17种GO操作符，并不存在能模拟任意多态单元的操作符，尤其是对输入输出存在复杂映射关系的多态单元建模时，现有GO操作符仍显不足。为满足MSS可靠性建模的需求，有必要引入新的GO操作符模型。

本文首先介绍了多态系统的定义，然后引入多态操作符的概念，给出其运算规则和定量算式。分别以某供水系统和捷联惯导系统为例，基于多态操作符建立系统的可靠性分析模型，并通过仿真计算给出了多态系统可靠性分析结果，验证了所提多态复杂系统可靠性分析方法的可行性。

1 多态系统

某MSS由n个单元(元件、部件或子系统)构成，其中单元i具有mi个可能的性能状态，其状态集合可以表示为

si={si,1,si,2,…,si,j,…,si,mi} ，

(1)

式中：si∈S，S为系统可能的状态取值；si,j表示单元i处于状态j. 单元i在时刻t处于各状态的概率可表示为

Pi(t)={Pi,1(t),Pi,2(t),…,Pi,j(t),…,Pi,mi(t)}，

(2)

式中：Pi,j(t)为单元i在时刻t处于状态j的概率。系统输出状态ss∈S，且ss是各单元状态si的函数，即

ss=ψ(s1,s2,…,sn)=ψ(s):{s1,1,s1,2,…,s1,m1}×…× {sn,1,sn,2,…,sn,mn}→{1,2,…,N},

(3)

式中：ψ(·)为系统的结构函数。对ψ(·)作如下假设：1) 结构函数是单调的；2) 所有单元相互独立，并且与系统相关。

2 多态操作符

2.1 现有GO操作符存在的不足

GO法通过把原理图、流程图或工程图翻译成GO图，利用操作符和信号流来描述具体单元的运行和逻辑关系，最后根据操作符的运算规则实现系统可靠性的定量分析。

GO法包含表征单元输入输出不同逻辑关系的17类操作符，但除信号发生器和多信号发生器外(类型4和类型5)，其余操作符或是逻辑操作符(类型2，类型10，类型11)；或是类似于逻辑操作符，仅对输入信号进行各种处理以产生输出(类型8，类型9，类型12，类型13，类型14，类型15)；或是虽模拟具体单元，但要求单元的状态数不超过3(类型1，类型3，类型6，类型7，类型16，类型17)。因此GO法中并不存在能模拟任意多态单元的操作符，同样也无法为多态系统构建出准确的可靠性分析模型。虽然类型13操作符从定义来看能模拟单元更广泛、更复杂的功能，原则上可以用该操作符来模拟多态单元的功能(多态单元的状态数据作为该操作符的一个输入)，但是该操作符由于运算规则较复杂，故应用较少。鉴于此，下面引入一类新的GO操作符—多态操作符。

2.2 相关定义

仍沿用GO法对状态的定义，用整数1～N来表示各性能状态，1代表成功，N代表失效；2～(N-1)表示介于成功和失效间的(N-2)个中间状态。

定义1联合状态矩阵。两独立单元各具有mi个状态，且状态xi∈S，S={1,2，…，N}，i=1,2，两单元构成系统的输出状态为xs=ψ(x1,x2)，则系统输出状态与两单元状态之间的关系用矩阵表示为

(4)

矩阵XS中元素为两独立单元不同状态组合下对应的系统输出状态值，m1×m2个元素遍历了两单元所有可能的状态组合，称XS为两独立单元的联合状态矩阵。ψ(x1,x2)可根据单元的实际工作情况来确定。

例如，图1为某三单元MSS可靠性框图。若单元间的结构函数为

图1 某三单元MSS的可靠性框图
Fig.1 Block diagram of reliability of some MSS with three units

x

1

与

x

2

的联合状态矩阵

以及与

x

3

作用后的联合状态矩阵

X

S

分别为

s1～s4代表4个临时状态。

(5)

2.3 多态操作符

图2 多态操作符
Fig.2 Multi-state operator

基于以上定义引出多态操作符，其符号如图2所示，图中

S

I

为输入信号，

S

O

为输出信号，多态操作符模拟具有

N

个状态的单元，其中

N

为大于等于2的整数。运算规则如表1所示，表中：

x

I

为输入信号的状态值，假设有

m

1

个状态，分别为

S

I,1

,

S

I,2

, …,

S

I,m1

；

x

C

为操作符所代表单元的状态值，假设有

m

2

个状态，分别为

S

C,1

,

S

C,2

, …,

S

C,m2

；

x

O

为输出信号的状态值。

表1 多态操作符的运算规则Tab.1 Algorithm of multi-state operator

(6)

3 算例

3.1 算例1：某供水系统可靠性分析

3台水泵正常工作时的流量均为10 t/s，降级工作时流量为5 t/s，出现失效时流量降为0 t/s. 现利用3台水泵给某设备供水，当供水量WS≥20 t/s时，设备正常工作；当10 t/s≤WS<20 t/s时，设备降级工作；当WS<10 t/s时，设备停止工作。已知3台水泵正常工作的概率均为0.80，降级工作的概率为0.15，停止工作的概率为0.05，求设备处于正常、降级和失效3种状态的概率。

由已知条件，水泵有3个状态：正常状态1(10 t/s)、降级状态2(5 t/s)和失效状态3(0 t/s)；设备也有对应的3个状态：正常状态1(供水量≥20 t/s)、降级状态2(20 t/s>供水量≥10 t/s)和失效状态3(供水量<10 t/s)。此系统具有多个输入多个状态，可采用本文所引入的多态操作符进行系统可靠性分析：

1) 画出系统GO图，如图3所示。操作符5-1、操作符5-2、操作符18-3分别表示水泵1～水泵3，操作符5-1和操作符5-2合并后的输出信号，再与操作符18-3作运算。

图3 供水系统GO图Fig.3 GO diagram of water supply system

2) 确定各操作符的状态概率矩阵：

3) 计算3个水泵输出的联合状态矩阵XS：

4) 计算3个水泵间的联合状态概率矩阵：

5) 计算输出信号SO的状态概率矩阵：

因此3个水泵供水量≥20 t/s(设备正常工作)的概率为0.950 0，20 t/s>供水量≥10 t/s(设备降级工作)的概率是0.048 7，供水量<10 t/s(设备发生失效)的概率是0.001 3.

贝叶斯网络(BN)具有图形化表达和不确定性推理的优势，近年来也成功应用于多态系统的可靠性分析。下面采用BN对算例1进行可靠性分析[17]。首先建立系统的BN模型如图4所示。

C1C2C3X|C1,C2,C3C1C2C3X|C1,C2,C3111122321121231211312322121123331221311112323122131131321322321213323222211132332121331221323323221133332222

图4 供水系统的BN模型

Fig.4 BN model of water supply system

结点C1、C2、C3代表基本事件水泵供水，X表示需水设备，水泵及需水设备的状态划分与前文相同。分别给定水泵3种状态的初始概率，并以C1、C2、C3的不同状态为条件，用条件概率表分析结点X的状态，即P(C1=1)=P(C2=1)=P(C3=1)=0.80，P(C1=2)=P(C2=2)=P(C3=2)=0.15，P(C1=3)=P(C2=3)=P(C3=3)=0.05.

系统状态为1时的概率可表示为

P(X=1)=P(C1=1)P(C2=1)+P(C1=1)P(C2=2)· [1-P(C3=3)]+P(C1=1)P(C2=3)P(C3=1)+P(C1=2)P(C2=1)[1-P(C3=3)]+P(C1=2)P(C2=2)P(C3=1)+P(C1=3)P(C2=1)P(C3=1)=0.95，

同样，可得系统状态为2和3时的概率分别为P(X=2)=0.048 7、P(X=3)=0.001 3.

此结果与本文所提算法计算结果一致，但本文的多态操作符与BN等传统方法相比，在以下3个方面更具有优势：

1)多态操作符对单元的状态维数和系统复杂度不敏感，只要能确定单元的结构函数及状态概率数据，沿信号流的流向，按多态操作符的算式逐一计算，即可获得系统最终输出信号的概率数据。

2)多态操作符可描述输入输出间的多种复杂映射关系，能更好地模拟具有复杂逻辑关系的单元。

3)若单元的结构函数发生变化，则只需调整联合状态矩阵及相应的布尔矩阵，无需推翻先前设计好的计算程序。

3.2 算例2：某惯导系统的可靠性分析

图5是某惯性导航系统的简化GO图，该系统更为复杂，且存在冗余。

表2为图5 GO操作符的数据信息(冗余单元具有相同的概率分布)。表2中λi,0为转移到提前状态的瞬时概率，λi,2、λi,3为转移到两种故障状态的瞬时概率，λi,1=1-λi,0-λi,2-λi,3为转移到成功状态的瞬时概率。

图5 某SINS的简化GO图Fig.5 Simplified GO diagram of some SINS

表2 操作符状态转移率Tab.2 Operator state transition probability

假设采样时间Δt=1 h，则部分单元和系统(以控显台输出信息有效为成功目标)的动态可靠性输出曲线如图6所示，表3列出了部分可靠性分析数据。由图6和表3可见，随着时间t的增长，各单元以及系统的可靠度(状态1)逐渐降低，完全失效概率(状态3)升高。当t=1 265 h时系统可靠度低于0.99，当t=4 918 h时系统可靠度低于0.95.
表3中t=4 918△h所在行表示所有单元为最小配置(无冗余)时的可靠性数据，此时系统可靠度仅为1.657×10-2. 与t=4 918 h所在行的数据对比可见(存在冗余)，多单元复杂系统中，关键单元的冗余配置对于提高系统可靠性具有至关重要的作用。

图6 单元和系统的动态可靠性输出曲线Fig.6 Dynamic reliability curves of components and system

4 结论

为提高GO法构建多态复杂系统可靠性分析模型的准确性与灵活性，本文补充了一种新的GO操作符—多态操作符。给出了该操作符的运算规则和定量算式，并将所提的多态操作符应用于某供水系统和惯导系统进行了可靠性分析，结果验证了所提多态操作符的可行性，评价结果可为系统和单元性能的实时准确判断提供可信依据。所得主要结论如下：

表3 部分单元和系统的动态可靠性数据Tab.3 Reliability data of some components and system

1)多态操作符可实现输入与输出间的多种复杂映射关系，弥补了GO操作符存在的不足，理论上可替代GO法中的任何一种操作符。

2)多态操作符对状态维数和系统的复杂程度不敏感，只要单元的结构函数和状态概率确定，便可获得系统最终输出信号的状态概率数据。

3)当单元的结构函数发生变化时，无需推翻先前的程序设计，提高了程序的可移植性。