反比例函数应用举粹

吴晓刚

中考对反比例函数的应用这块内容的要求是：结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式，能用反比例函数解决简单实际问题。下面是生活中的反比例函数原型，希望这些试题能对同学们的学习有所帮助。

例1 （2017·浙江丽水）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）。根据经验，v、t的一组对应值如下表：

[v（千米/小时） 75 80 85 90 95 t（小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 ]

（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式。（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由。（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围。

【解析】根据表中数据，经过简单推理可判断v是t的反比例函数，运用待定系数法求出相应的函数表达式，再验证其余几种特殊情况。有了函数表达式，根据行驶速度v即可求出行驶时间t，反之，根据行驶时间t即可求出行驶速度v，再根据反比例函数的性质即能解决问题。

解：（1）根据表中数据，可画出v关于t的函数图像（如图1所示），根据图像形状，选择反比例函数模型进行尝试。设v与t的函数表达式为v=[kt]，∵当v=75时，t=4，∴k=75×4=300，∴v=[300t]。将点（3.75，80），（3.53，85），（3.33，90），（3.16，95）的坐标代入v=[300t]验证即可。（2）∵汽车行驶速度不超过100千米/小时，当v=100时，t=[300v]=3，则t≥3。7.5+3=10.5>10，∴汽车上午7：30从丽水出發，不能在上午10：00之前到达杭州市场。（3）由反比例函数性质得，当3.5≤t≤4时，75≤v≤[6007]。

【点评】若函数中有两个变量，这两个量符合的函数表达式是其最本质的关系。

例2 （2018·四川乐山）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜。如图2是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段。请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式。（2）求恒温系统设定的恒定温度。（3）若大棚内的温度低于10℃，蔬菜会受到伤害。问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

【解析】根据3段函数图像的特点，可知分别对应一次函数、常数函数、反比例函数，要求后两段函数图像的解析式，得先求B、C两点的坐标。要使蔬菜避免受到伤害，大棚内的温度不能低于10℃，找到反比例函数图像上y=10对应的点的横坐标，其与关闭时刻的差就是最多可以关闭的时间。

解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k1≠0），将点（0，10）、（2，14）代入，解得[k1=2，b=10，]∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x≤5）。∵B在线段AB上，当x=5时，y=20，∴B坐标为（5，20），∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x≤10）。设双曲线CD解析式为：y=[k2x]（k2≠0），∵C（10，20），∴k2=200。∴双曲线CD解析式为：y=[200x]（10≤x≤24）;（2）由（1）得，恒温系统设定恒温为20℃;（3）把y=10代入y=[200x]中，解得x=20，20-10=10，∴恒温系统最多关闭10小时。

【点评】分段函数实际上是对这个函数分类讨论时的不同结论。本题综合考查了3类函数的图像与性质，抓住函数图像上的特殊点、临界点是解题的关键。

例3 （2018·河北）图3是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y=[kx]（x≥1）交于点A，且AB=1米。运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置。忽略空气阻力，实验表明：M、A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M、A的水平距离是vt米。（1）求k，并用t表示h;（2）设v=5，用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离;（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒，当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围。

【解析】本题是反比例函数与二次函数的综合应用，考查了两类函数的图像及其性质。根据题意，结合图像可分别得到x、y与t的函数关系式，借助“桥梁”t可求得y与x的关系式。最后根据条件分别列出方程、不等式即可。

解：（1）将点A（1，18）代入y=[kx]得：k=18，设h=at2，将t=1，h=5代入，得a=5，∴h=5t2。（2）∵v=5，AB=1，∴x=5t+1。∵h=5t2，OB=18，∴y=

-5t2+18。由x=5t+1，得t=[15]（x-1），∴y=[-15]（x-1）2+18。当y=13时，x=6或-4（舍）。把x=6代入y=[18x]，得y=3。∴运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10（米）;（3）把y=1.8代入y=

-5t2+18，得t=±1.8（负值舍去），x=5×1.8+1=10。∴甲为（10，1.8）恰好落在滑道y=[18x]上。此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8）。由题意得1+1.8v乙-10>4.5，∴v乙>7.5。

【点评】本题以滑道（反比例函数图像）为载体，研究运动员滑行路线（二次函数图像）上的特殊点。3个变量的转化是难点，需要同学们运用数形结合，抓住几个关键点，建立数学模型。

（作者单位：江苏省南菁高级中学实验学校）