近地圆轨道真的内切于椭圆轨道近地点吗？

余欢 李帖

摘 要：本文运用椭圆参数方程，运动的合成和分解，简谐运动相结合的方式，探讨了近地圆轨道和椭圆轨道近地点的相切问题，以较简单的方式解开了困扰学生和教师已久的困惑。

关键词：近地圆轨道；椭圆轨道；相切

一、问题说明

在进行万有引力的教学时，总会有学生很疑惑地来问我：老师，近地圆轨道真的内切于椭圆轨道的近地点吗？可以通过研究，找到了简谐运动结合运动的合成与分解，再搭配曲率半径的概念予以讲解论证的思路。

二、知识准备

1.椭圆的方程

a.椭圆的标准方程

+ （长轴位于x轴）.其中（x，y）为椭圆上点的坐标，a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，椭圆的半焦距为c，且c2=a2-b2.

b.椭圆的参数方程

x=asinθ，y=bcosθ，联立，消去θ可得： + =1。

由此联想到若令θ=ωt，则x=asinωt，y=bsinωt，则可将轨迹为椭圆的运动视做两个圆频率相同且互相垂直的简谐运动的合运动。

2.曲率半径

曲线的曲率：就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率。通过微分来定义就是：k=lim ，Δs趋向于0的时候，k值就是曲率。曲率表明曲线偏离直线的程度，或曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

3.简谐运动的速度时间关系

运用数学求导的工具求解简谐运动的速度时间关系。

简谐运动的位移时间关系为：x=Asin（ωt+？渍）

对x关于时间求导，得简谐运动的速度时间关系：V=Aωcos（ωt+？渍）

由此可知，做简谐运动的物体经过平衡位置处的速度大小为：V=Aω。

小结：由以上的论述可知，椭圆运动可以视作互相垂直且圆频率相同的两个简谐运动的合运动，如图所示，则椭圆近地点即A点的速度为：VA=bω。我们将在此认识上继续讨论。

三、近地轨道与椭圆轨道

1.軌道在近地点的相切关系

圆轨道的半径为：R=a-b，近地点处椭圆轨道A点，设其向心加速度为anA，曲率半径为ρA，则：anA= ，anA=ω2a且VA=bω，联立以上三式，得：ρA= 。

欲知近地圆轨道与近地椭圆轨道在近地点的相切关系，就需要比较R与ρA的大小关系，用作差法论证：R-ρA=（a-b）- = <0

所以：R<ρA，即近地圆轨道半径小于近地椭圆轨道在近地点的曲率半径，表明两者的在近地点的空间关系为：近地圆轨道内切于近地椭圆轨道。

2.向心力及向心加速度的关系

对于同一卫星而言，无论其绕行轨道是近地椭圆轨道还是圆轨道，当其通过近点时都是万有引力提供其运动所需要的向心力，由F万=G 及a= 可知，向心力及向心加速度完全相同。

3.速度关系

a.从发射速度的角度定性角度思考释疑：想要使卫星能够到达更高的轨道上运行，就需要更大的发射速度。所以卫星在椭圆轨道上A点的速度就大于近地圆轨道上A点的速度。

b.从圆周运动线速度表达式的定量角度思考释疑。

对于近地圆轨道上的A点，由万有引力提供向心力的线速度表达式，有：G =G =M2 ，所以：VA=

对于椭圆轨道上的近地点A，同理可得：

G =G =M2 ，代入ρA= ，整理得：V′A= =

用作商法比较VA与V′A的大小关系： = =

因为：a-c

即：卫星在近地圆轨道上A点的运行速度小于其在近地椭圆轨道处A点的运行速度。

四、总结

定性、定量、实验验证是教师在授课过程中常用的讲解方式，是已被实践证明的有效的讲解方式。但考虑到学生的思维方式存在差异，必要时教师也需要根据学生的情况予以调整，给以另外一个角度的思维补充，满足学生的求知欲，也让学生对知识产生发自内心的认可和切实的理解。

编辑 原琳娜