源于直观重在数学想象

周云

摘 要：《普通高中数学课程标准》提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六大核心素养，这些素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。本文结合自身的教学活动，对核心素养中直观想象的培养做一些实践探究。

关键词：课程改革；核心素养；直观想象；实践

一、直观想象的涵义

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

二、培养高中学生直观想象的实践

夸美纽斯和裴斯泰洛奇都是直观想象的提倡者，裴斯泰洛奇绘出实物的图片，以此为媒介教学生观察与记述，进行直观教学实验，夸美纽斯在《大教学论》中还提出了许多重要的教学原则，如直观性原则，要求“在可能的范围以内，一切事物都应尽量放到感官跟前”。他们认为：“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，就是直接把握对象的全貌。”

1.注重自制教具，自己动笔画图形，让学生体会直观想象的形成过程

公开示范课《三角函数的诱导公式》，学生在老师的引导下，用一个“米”字破解了诱导公式的发现过程，观察图像最明显，接近学生原有的认知水平，借助形象化的图像表示抽象化的终边对称关系。学生得到了型如π-α，π+α，-α的誘导公式，简记为“函数名不变，正负看象限”。

根据皮亚杰的反省抽象理论，即使学生已经积累了大量的操作经验，但如果没有对操作结果进行思考，那么就会阻断了学生学会新的思考方法的途径。以下是我借鉴公开示范课的创意并应用在课堂中的教学实践，请学生完成一个类似的设计，证明sin -α=cosα，为学生提供思考、发现问题的机会：

问题1 如果角α=30°，请同学写出一些正弦值与cos30°相同或为相反数的角。

问题2 如果角α是任意锐角，请同学画出与cosα相同或为相反数的角的终边。

问题3 请大家把问题2中终边相对应的角用最简捷形式表示出来，并观察该图，写出观察到的等式。

学生在画图的时候，意外发现α与 -α的终边关于直线y=x对称，P（cosα，sinα）和Q（sinα，cosα）关于直线y=x对称，因此sin -α=cosα.接下来由上述图像，学生不难发现 +α， -α， +α的诱导公式，简记为“函数名变，正负看象限”。

学生有了上述的设计、推导、发现过程，从几何出发，抽象出代数关系，再顺理成章地将三角比的诱导公式 +α概括成一般性的口诀“奇变偶不变，正负看象限”，简单明了，轻松记忆，若干年后，可能数学知识全忘了，但这句口诀，终生难忘。

2.构建数学模型，领悟几何特征，培养学生的直观想象能力

数学学习离不开经验、方法的积累，学生需要对学过的知识进行反思、归纳、总结。通过对图形的观察，特别是运动中的不变性，抓住几何特征，构建数学模型，巧妙地解决一些难题。

以下是一道课堂习题课的教学片断：

例：已知方程x+lnx-5=0，x+ex-5=0的实根分别是x1，x2，则x1+x2= 。

师：lnx=5-x，ex=5-x，直接解方程的话，貌似不会解？

生1：lnx1=5-x1？圳x1= ，对照方程组 =5-x2 =x1，猜测5-x2=x1，所以x1+x2=5。

师：很大胆的猜测，大家觉得答案对吗？（同学们纷纷点头同意）怎么证明呢？

生2：函数f（x）=ex+x-5单调递增，f（1）·f（2）<0，f（x）=ex+x-5只有一个零点，所以5-x2=x1。

师：理由非常充分，很完美的解答。既然是从函数的角度思考，那么是否有其他想法？

生3：数形结合，y=lnx，y=ex互为反函数，它们的图像于y=x对称，而y=5-x也关于y=x成轴对称图形，由图像可知，交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），它们关于点P ， 对称，所以x1+x2=5。

师：想法很好，超越方程一般没有解析解，而只有近似解，只有特殊的超越方程才可以求解。在大学阶段常用的近似解法有牛顿切线法、幂级数解法等，也可以编制一段程序用计算机求解。但高中阶段，更多的是化归思想，利用数形结合求解。

以上设计着眼于发展直观想象素养的习题课教学，以学生熟悉的函数图像为载体，这是学生现有的发展水平。引导学生画出图像，对称轴的巧妙应用是“点睛之笔”，这就是学生的最近发展区。学生进一步加深方程和函数的联系，从而发展学生的数学核心素养。同样的立体几何的教学重点是帮助学生逐步形成空间想象能力。以正方体、长方体为模型和载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系。

数学教师就是要以数学知识为核心，选择具有教育价值的例题，在课堂中努力实践，培养学生的直观想象能力。

参考文献：

[1]温长远.一个“米”字破解“诱导公式”：观连春兴老师授课有感.数学通讯，2018（4）：33-35，48.

[2]罗增儒，罗新兵.波利亚的怎样解题表（续）[J].中学数学教学参考，2004（5）：23-25.

[3]章建跃.高中数学教材落实核心素养的几点思考[J].课程·教材·教法，2016（7）：44-49.

编辑 田香香