等圆规律在磁场中的应用

蒋金厚

等圆知识

半径相等的两圆相交于P点，动圆O2以两圆相交点p为转轴在定圆O1平面内转动，动圆与定圆另一相交点Q（除两圆重合外）在动圆上的切线垂直定圆上过P点的直径，即QN⊥PM，交点在动圆上的切线相互平行，如图1所示，而半径不等的相交圆无此结论。

证明：在图1中，连接QO1、PO2、PQ，由于两圆半径相等，ΔPO1Q≌ΔPO2Q，∠α=∠β，所以PO1∥QO2。切线QN垂直半径QO2，所以QN垂直PM，即交点在动圆上的切线相互平行且垂直过P点的定圆直径PM。

粒子轨迹规律一

匀强磁场在圆形区域内且垂直圆面。若带电粒子在磁场中作圆周运动的半径等于磁场圆的半径，磁感强度、粒子质量、电荷量及运动速率不变。

1. 粒子在圆平面内从磁场区域圆周（图2中实线）上P点沿各个方向垂直磁场进入磁场，以P点为定点、磁场圆半径大小为半径作滚动圆，作出一系列半径相等的圆（图2中虚线圆），由等圆知识可知，粒子从磁场边界射出时的方向平行且垂直过P点的磁场圆的直径。

2. 同样过P点作滚动圆，由等圆知识可得，粒子在圆周上不同位置沿相同方向垂直磁场进入圆形磁场区域后发生偏转，恰好从磁场边界上的P点射出磁场，如图3所示。

【例1】如图4所示，在xoy平面内有大量质量为m、电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同的速率v0沿不同方向平行xoy平面射入第I象限。现加一垂直xoy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿X轴正方向运动。求符合条件的磁场的最小面积。（不考虑电子之间的相互作用）。

解析：电子在磁场中做匀速圆周运动，半径为R=且相等。由O点射入第I象限的所有电子中，沿y轴正方向射出的电子转过1/4圆周，速度变为沿x轴正方向，这条轨迹为磁场区域的上边界。由粒子轨迹规律一可知，所有由O点射入磁场区域的电子平行x轴正方向射出，说明磁场圆的直径在y轴上。要求磁场区域面积最小，即为1/2的磁场圆与1/4的轨迹圆的重叠部分，如图5所示，磁场的最小面积为：

S=2（？仔R2-R2）=。

粒子轨迹规律二

匀强磁场分布在圆形区域外足够大的范围内且垂直圆面。若带电粒子在磁场中作圆周运动的半径等于无场区域圆的半径，磁感强度、粒子质量、电荷量及运动速率相同。由等圆知识可知，粒子在圆周上不同位置沿相同方向垂直磁场进入磁场，经磁场偏转后汇聚于圆周上同一点P;在圆平面内从P点沿各个方向垂直进入磁场的粒子经磁场偏转后平行进入圆形无场区域，速度方向垂直过P点的圆的直径，如图6所示。

【例2】圖7中坐标原点O（0，0）处有一带电粒子源，向y≥0一侧沿xoy平面内的各个不同方向发射带正电的粒子，粒子的速率都是ν，质量均为m，电荷量均为q，有人设计了一方向垂直于xoy平面，磁感应强度大小为B的匀强磁场区域，使上述所有带电粒子从该磁场区域的边界射出时，均能沿x轴正方向运动。试求出此边界线的方程，并画出此边界线的示意图。（不考虑粒子之间的相互作用）。

解析：设磁场方向垂直xoy平面向里，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由粒子轨迹规律二可知，无场区域为过原点O且直径在y轴上的圆，沿负x轴方向射出的粒子轨迹为磁场圆边界，如图8所示。粒子作圆周运动的半径R=，无磁场区域圆的半径为R，圆心O在y轴上（0，-R）点，所以无磁场圆的方程为：x2+（y+R）2=R2;将R=代入得：x2+（y+）2=。

故磁场区域的边界线的方程为：x2+（y+）2=，x≤0，y≤0。

若磁场方向垂直于xoy平面向外，沿负x轴方向射出的粒子轨迹为磁场圆边界，同理可得磁场的边界线为如图9的半圆，磁场区域的边界线的方程为x2+（y-R）2=R2 x≥0，y≥0。

即x2+（y-）2=，x≥0，y≥0 。

总结

匀强磁场分布在圆形区域内或圆形区域外足够大的范围内且垂直圆面。若带电粒子在磁场中作圆周运动的半径等于圆形区域的半径，那么质量相等、带电荷量及运动速率相同的粒子从圆周边界上某一点垂直磁场进入磁场区域，则经磁场偏转后平行穿出磁场;在圆周平面内从圆周上一侧不同位置同方向垂直磁场进入磁场区域，则经磁场偏转后汇聚于圆周上同一点穿出磁场。应用这个结论，能够较容易地解答有关带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的相应问题。

责任编辑 李平安