海伦喷泉实验探究

陈文毅　李想　李晓天　崔悦甜　孔荣　孙光兰

摘要：建立了海伦喷泉的基本物理模型，并推导了水柱最大喷射高度和液面差、出水口直径以及液体密度的关系。实验方面表明，在不考虑温度对实验的影响下，利用控制变量法推导出出水口直径大小、液面差、两侧液体密度对水柱最大高度的影响，结果与理论吻合得很好。

关键词：海伦喷泉;最大喷射高度;IYPT

中图分类号：G642.423     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）13-0276-02

一、研究起源

海伦喷泉问题起源于2018年国际青年物理学家锦标赛（IYPT）赛题中的第四题，原文如下：

Heron's Fountain

Construct a Heron's fountain and explain how it works.Investigate how the relevant parameters affect the height of the water jet.

海伦喷泉

建造一个Heron的喷泉并解释它的工作原理，研究相关参量是如何影响水柱高度的。

二、理论研究

1.实验基本原理。如图1，向长颈漏斗A中注水，左烧瓶B中的水面升高，左烧瓶内的空气通过塑胶管压入了右烧瓶C中，从而使右烧瓶内的气压增大，使右烧瓶C中的水从喷泉口呈柱状喷出。本实验是使瓶C内外产生较大的压强差，利用压差将广口瓶中的液体压出，并在尖嘴导管处形成喷泉。忽略空气阻力情况下，根据机械能守恒，喷出水的动能最终转化为水的重力势能，所以喷泉出水高度与出水口速度有关，而出水口的速度与瓶内压强、尖嘴导管直径、液体密度有关。

2.理论推导。在整个装置中，本实验流体遵循能量守恒，符合总流伯努利方程由于漏斗液面面积远远大于出水口面积，所以假设=0。总流伯努利方程可简化为忽略空气阻力，由机械能守恒得3）

定

又因为单位时间流量与流速关系式为Q=Sv （5）

最后由（3）式和（5）式整理可得最大喷泉高度与出水口直径关系式（6）

三、实验探究

本次实验采用“控制变量法”探究海伦喷泉两瓶内液面差、出水口直径以及液体密度对喷泉高度的影响。用下面的方法进行气密性检查：向瓶C中加入半瓶水，瓶B中不加水，向瓶A中缓慢加入一定量的水，同时以大拇指堵住瓶C喷泉口，最终观察到瓶A中液面稳定，水并不会流入B瓶，由此证明本装置气密性良好。

1.两侧液面差对水柱最大喷射高度的影响。控制液体密度和出水口直径不变，通过用垫块垫高B瓶从而改变两侧液面差的大小，得到最大喷射高度与液面差的关系，且当液面差小于3cm时，因为装置存在水头损失，所以喷泉高度为0，关系线交纵轴于负半轴;当液面差大于3cm时，符合线性关系。最大喷射高度与液面差基本成线性关系。通过对比，两图趋势基本相同，实验结果符合理论。

2.出水口直径的大小对最大喷射高度的影响。控制液体密度和液面差大小，改变出水口直径的大小，得到出水口直径和最大喷射高度的关系。通过理论拟合得出水柱高度与出水口直径的关系。对比两图，实验现象与理论基本吻合。随着喷水口口径的增大，水柱最大喷射高度随之降低，且符合与成正比关系，实验与理论基本吻合。

3.液体密度对水柱最大喷射高度的影响。当液面差与出水口直径保持不变时，探究水柱最大喷射高度与液体密度的关系，当两瓶中液体密度相同时，最大喷射高度与液体密度的关系式可化成  一、研究起源

海伦喷泉问题起源于2018年国际青年物理学家锦标赛（IYPT）赛题中的第四题，原文如下：

Heron's Fountain

Construct a Heron's fountain and explain how it works.Investigate how the relevant parameters affect the height of the water jet.

海伦喷泉

建造一个Heron的喷泉并解释它的工作原理，研究相关参量是如何影响水柱高度的。

二、理论研究

1.实验基本原理。如图1，向长颈漏斗A中注水，左烧瓶B中的水面升高，左烧瓶内的空气通过塑胶管压入了右烧瓶C中，从而使右烧瓶内的气压增大，使右燒瓶C中的水从喷泉口呈柱状喷出。本实验是使瓶C内外产生较大的压强差，利用压差将广口瓶中的液体压出，并在尖嘴导管处形成喷泉。忽略空气阻力情况下，根据机械能守恒，喷出水的动能最终转化为水的重力势能，所以喷泉出水高度与出水口速度有关，而出水口的速度与瓶内压强、尖嘴导管直径、液体密度有关。

2.理论推导。在整个装置中，本实验流体遵循能量守恒，符合总流伯努利方程=z（1）

由于漏斗液面面积远远大于出水口面积，所以假设v=0。总流伯努利方程可简化为+ （2）

忽略空气阻力，由机械能守恒得出3）

定义液面差Δz=大气压强，用表示。最后整理可得：

又因为单位时间流量与流速关系式为Q=Sv （5）

最后由（3）式和（5）式整理可得最大喷泉高度与出水口直径关系式（6）

三、实验探究

本次实验采用“控制变量法”探究海伦喷泉两瓶内液面差、出水口直径以及液体密度对喷泉高度的影响。用下面的方法进行气密性检查：向瓶C中加入半瓶水，瓶B中不加水，向瓶A中缓慢加入一定量的水，同时以大拇指堵住瓶C喷泉口，最终观察到瓶A中液面稳定，水并不会流入B瓶，由此证明本装置气密性良好。

1.两侧液面差对水柱最大喷射高度的影响。控制液体密度和出水口直径不变，通过用垫块垫高B瓶从而改变两侧液面差的大小，得到最大喷射高度与液面差的关系，且当液面差小于3cm时，因为装置存在水头损失，所以喷泉高度为0，关系线交纵轴于负半轴;当液面差大于3cm时，符合线性关系。最大喷射高度与液面差基本成线性关系。通过对比，两图趋势基本相同，实验结果符合理论。

2.出水口直径的大小对最大喷射高度的影响。控制液体密度和液面差大小，改变出水口直径的大小，得到出水口直径和最大喷射高度的关系。通过理论拟合得出水柱高度与出水口直径的关系。对比两图，实验现象与理论基本吻合。随着喷水口口径的增大，水柱最大喷射高度随之降低，且符合与成正比关系，实验与理论基本吻合。

3.液体密度对水柱最大喷射高度的影响。当液面差与出水口直径保持不变时，探究水柱最大喷射高度与液体密度的关系，当两瓶中液体密度相同时，最大喷射高度与液体密度的关系式可化成，可知在此条件下，最大喷射高度与液体密度无关。

当两瓶内液体密度不同时，保持C瓶的液体密度不变，通过向B瓶加入食盐，从而改变B瓶密度得到最大喷射高度与液体密度的关系。由（4）式可知，当改变液体密度，其他因素不变时，得出最大高度变化的理论关系曲线。通过比较可知，实验结果基本与（4）式吻合。

四、实验总结

在合理的误差范围内，利用简易装置研究发现喷泉高度与液面差大小、出水口直径、液体密度有关。讨论了液面差、出水口直径、B瓶液体密度对最大喷射高度的影响，结合伯努利方程，得到了它们之间的理论公式。喷泉高度与液面差成线性关系，且当两个瓶中液体密度相同时，喷泉最大喷射高度与出水口直径成反比关系。当两个瓶中液体密度不同时，保持C瓶的密度不变，喷泉高度与B瓶中的液体密度成负相关。在实验过程中也存在一些不足，如理论推导基于理想条件，不考虑气体的压缩，液体粘度的变化，等等。

参考文献：

[1]Evangelos Papadopoulos.Heron of alesandria Springer Netherlands[J].2007，（1）：217-245.

[2]吴望一.中国大百科全书74卷[M].第2版.北京：中国大百科全书出版社，2009，（7）：50-51.-，可知在此条件下，最大喷射高度与液体密度无关。

当两瓶内液体密度不同时，保持C瓶的液體密度不变，通过向B瓶加入食盐，从而改变B瓶密度得到最大喷射高度与液体密度的关系。由（4）式可知，当改变液体密度，其他因素不变时，得出最大高度变化的理论关系曲线。通过比较可知，实验结果基本与（4）式吻合。

四、实验总结

在合理的误差范围内，利用简易装置研究发现喷泉高度与液面差大小、出水口直径、液体密度有关。讨论了液面差、出水口直径、B瓶液体密度对最大喷射高度的影响，结合伯努利方程，得到了它们之间的理论公式。喷泉高度与液面差成线性关系，且当两个瓶中液体密度相同时，喷泉最大喷射高度与出水口直径成反比关系。当两个瓶中液体密度不同时，保持C瓶的密度不变，喷泉高度与B瓶中的液体密度成负相关。在实验过程中也存在一些不足，如理论推导基于理想条件，不考虑气体的压缩，液体粘度的变化，等等。

参考文献：

[1]Evangelos Papadopoulos.Heron of alesandria Springer Netherlands[J].2007，（1）：217-245.

[2]吴望一.中国大百科全书74卷[M].第2版.北京：中国大百科全书出版社，2009，（7）：50-51.

The Experimental Exploration of Heron's Fountain

CHEN Wen-yia，LI Xianga，LI Xiao-tiana，CUI Yue-tiana，KONG Rongb，SUN Guang-lanc

（a.School of Materials Engineering;b.School of Mechanical and Electrical Engineering;c.Department of Basic Science，North China Institute of Aerospace Engineering，Langfang，Hebei 065000，China）

Abstract：The basic physical model of Helen fountain is established，and the relationship between the maximum jet height of water column and liquid level difference，outlet diameter and liquid density is derived.The experimental results show that，without considering the influence of temperature on the experiment，the influence of the diameter of outlet，the difference of liquid surface and the density of liquid on the height of water column is derived by using the control variable method.The results are in good agreement with the theory.

Key words：Heron's fountain;maximum ejection height;IYPT