双重介质页岩气藏水平井压力动态特征

黄天坤,王德龙,王丽影,郑庆华

(1.西北大学 地质学系， 西安 710069； 2.中国石油长庆油田 勘探开发研究院,西安 710018；3.延安大学 石油工程与环境工程学院，陕西 延安 716000； 4.榆林学院 化学与化工学院，陕西 榆林 719000)

页岩气作为一种非常规资源，在全球范围内分布十分广泛。中国页岩气技术可采资源量达31.57×1012m3[1]；不过页岩气开发规模还比较小，产量比较低，整体处于起步阶段。由于页岩气以多种相态存储，并存在解吸-扩散-渗流的微观运移特征，采用常规评价方法分析页岩气生产动态显然不合适，因此需要考虑页岩气多种存储型态及运移方式，建立更加符合页岩气流动特征的渗流理论与方法。

为此，国内外学者对页岩气渗流开展了一些研究工作，中国学者主要对页岩气成藏机理、储层特征描述及富集资源评价等方面展开研究，并取得了一定成果[2-6]。不过多数人在渗流理论描述中[7-12]，未综合考虑页岩气在基质流动中的扩散特征，忽略基质向裂缝的运移时产生的不稳态窜流现象，导致描述页岩气渗流不够完善。本文综合考虑页岩气多种存储型态及运移方式，引入吸附系数、表观渗透率函数，对传统的渗流微分方程进行修正，建立页岩气藏基质向裂缝不稳态窜流的水平井渗流数学模型；然后利用正交变换方法和拉普拉斯变换方法对模型进行求解，对压力响应曲线影响因素进行分析，研究页岩气藏水平井不稳定渗流动态特征。

1 页岩气藏运移机理

页岩气是指储存于低孔、特低渗、富有机质的高碳泥页岩或暗色泥页岩中的吸附态与游离态天然气[13]。页岩的吸附态天然气主要存贮于页岩基质(基质由有机物干酪根与无机物组成)中，占天然气总量的20%～85%；而游离气主要存储于页岩微裂缝中[14]。国外较多学者[15-18]认为在页岩气生产过程中，气体微观运移机理为：当页岩气藏储层压力沿径向开始下降后，原有动态平衡被打破，首先是裂缝与大孔道中的游离态气体沿裂缝流入井筒，然后是附着在页岩颗粒表面的气体开始解吸并扩散到裂缝与大孔道内，最终解吸气和游离态、溶解态天然气混合通过基质孔隙扩散、渗流至裂隙中，再经裂缝流向井筒。其中页岩气微观运移属于扩散还是渗流，取决于储层孔隙与喉道大小，及气体分子组成(图1)[19]。依据页岩气储层孔隙物性，认识到在纳达西级别基质气体运移以扩散为主，不同于煤层气Fick扩散，属于Knudsen扩散，在微达西以上级别的裂缝以渗流为主[20]。

图1 页岩气藏不同孔隙类型、流动类型及粒子运动关系Fig.1 Relationship between different pore types,flow types and particle motion in shale gas reservoirs

在页岩气扩散与渗流描述中，F.A.Florence[21]采用Knudsen参数(Kn)判断页岩气流态：当Kn≤0.001时，气体运移属于达西流；当0.001

(1)

页岩气在基质中渗流形态的不同造成的运动方程的改变可以用渗透率的变化来处理。定义综合所有影响因素后所测得的渗透率为基质综合渗透率Kam，引入表观渗透率函数f(Kn)，用于表征基质综合渗透率Kam与基质固有渗透率Km的关系。则

Kam=f(Kn)·Km

(2)

(3)

2 物理模型

根据页岩气储层及渗流特征，建立页岩气藏物理模型，假设页岩储层分为基质和裂缝两大系统。同时假设：①页岩气解吸过程为等温，遵循Langmuir等温吸附方程[22]。②基质为球形介质，基质综合渗透率以Kam表示，基质孔隙度qm为基质孔隙体积与基质系统总体积的比值(图2)。③基岩不能直接向井筒供给气流，且基岩向裂缝发生不稳态窜流(图3)。④裂缝向井筒流动为径向流，裂缝水平方向渗透率为Kfh，裂缝垂直方向渗透率为Kfv，裂缝孔隙度为qf。⑤气井以定产量Qsc生产。⑥气层厚度为d，初始地层压力为pi，顶底边界为不渗透边界。⑦忽略重力和毛管力，地层岩石压缩系数为常数。⑧气体扩散-渗流中不发生物理、化学变化。基于以上的假设条件，建立页岩气藏解吸-扩散-渗流数学模型。

图2 A.O.Deswaan双孔系统理想模型Fig.2 Ideal model of A.O.Deswaan two-hole system

图3 渗流简化模型Fig.3 Simplified migration mechanism model

3 渗流数学模型

3.1 数学模型建立

考虑页岩气存储型态、气井表皮系数及井筒储集效应，基于不稳定渗流理论，建立裂缝-孔隙型储层页岩气体渗流数学模型。

考虑页岩气吸附于基质岩石壁面，而非基质孔隙中，提出基质体积为1时基质中吸附气体积为(1-qm)V，对基质系统连续性方程增加了式(4)右侧第三项，即解吸项。其中解吸项中V为吸附量，常用Langmuir等温吸附方程描述吸附气体压力和吸附量之间的关系。裂缝系统F(V,t)表示基质向裂缝的供气量方程。依此建立页岩气解吸-扩散-渗流连续性方程。

(4)

式中：V为地面测得的单位体积页岩基质系统吸附气体的体积；ρg为天然气密度；qm为基质孔隙度；t为生产时间；r为基质半径；vrm为天然气在基质中渗流速度；ρsci为在压力psc=1.013 25×105Pa、温度Tsc=293 K时的天然气密度。

(5)

R为裂缝半径；Kfh和Kfv分别为裂缝的水平渗透率、垂直渗透率；pf为储层裂缝系统地层压力；qf为裂缝孔隙度；Ctf为裂缝综合压缩系数；z为水平井水平段垂向深度；pL为页岩气藏的Langmuir压力；VL为单位体积页岩基质系统骨架的Langmuir体积；νrf为天然气在裂缝中渗流速度。

考虑气体压力与体积变化状态特征，建立页岩气储层裂缝、基质的综合压缩系数

(6)

式中：ctf和ctm分别为裂缝、基质岩石的综合压缩系数；crf和crm分别为裂缝、基质岩石的视压缩系数；cρf和cρf分别为裂缝、基质孔隙中流体的压缩系数。

结合页岩气储层裂缝和基质的初始压力、内外边界及气井生产条件(表1)，最终建立页岩气藏数学模型。

3.2 岩石压缩性吸附影响系数

将Langmuir等温吸附方程代入基质系统连续性方程，进行变形可得

(7)

式中：μg为天然气黏度。

(8)

在此，设岩石压缩性吸附影响系数α为基质综合压缩系数与考虑解吸项的综合压缩系数之比，其数学表达式如式(9)，α值越小，页岩气藏含气量越大。

(9)

3.3 无因次水平井渗流模型

依据页岩气渗流模型， 并考虑岩石压缩性吸附影响系数， 其中假设水平井段的长度为2L， 水平井处在距气藏底部距离为zw处，且与气藏垂向边界相平行，并考虑表皮系数及井筒储集系数，引入拟压力函数并对渗流模型参数进行无因次化定义(表2)，建立页岩气藏水平井无因次渗流模型。

表1 页岩气数学模型储层及生产条件Table 1 Mathematical model and production conditions of shale gas reservoir

表中：d为储层厚度；pm为储层基质系统地层压力；pi为储层原始地层压力；psc为标准条件下的压力，psc=1.013 25×105Pa；Qsc为标准条件下气井在单位时间内的产量；Tsc为标准条件下的热力学温度，Tsc=293 K；Zp为任意压力p下的天然气偏差因子；Zsc为标准条件下天然气偏差因子；zw为水平段到油藏底部距离，R为裂缝半长

表2 页岩气藏水平井渗流模型无因次参数Table 2 Dimensionless parameters for horizontal well flow model of shale gas reservoirs

表中：mm(pm)为任一压力pm下，基质中页岩气的拟压力函数；mf(pf) 为任一压力pf下，裂缝中页岩气的拟压力函数；mwf为实测井底压力的拟压力函数；mwf’为页岩气井对应的完善井井底压力的拟压力函数；mmi和mfi分别为原始地层压力下，基质、裂缝中页岩气的拟压力函数；Rw为井筒半径；L为水平井长度；d为油层厚度；ω为弹性储容比，定义为裂缝系统的弹性储存能力与油藏总的弹性储存能力之比；λ为窜流系数；C为井筒储集系数

依据以上渗流方程，考虑储层边界与初始条件，建立双重介质页岩气藏水平井不稳定无因次渗流模型

(10)

3.4 数学模型求解

根据以上建立无穷大边界页岩气藏水平井渗

流模型，应用Laplace变换、正交变换及压力沿水平井井筒叠加积分，对渗流数学模型求解。首先对基质模型应用Laplace变换[24]于tD得

(11)

(12)

当rD=1

(13)

对式(10)中的裂缝模型应用Laplace变换于tD，正交变换于zD得

(14)

(15)

对(15)式作正交逆变换后得Laplace空间解，再沿水平井筒方向叠加积分，求得水平方向无穷大页岩气藏水平井的压力响应表达式

cos(βnzwD)dα}

(16)

考虑气井表皮效应和井筒储集因素[25]，水平井无因次井底拟压力

(17)

4 页岩气藏压力动态特征分析

由式(16)可得无因次Laplace空间压力解，绘制双重介质页岩气藏水平井压力特征曲线，并分析敏感参数对典型曲线的影响。以mD和m’D·tD/CD的对数为纵坐标，以tD/CD的对数为横坐标，作考虑表皮和井筒储集效应双重介质页岩气藏水平井不稳态拟压力及其导数曲线(图4)。

图4 双重介质页岩气藏水平井压力响应特征曲线Fig.4 Pressure response characteristic curve of horizontal well in shale gas reservoir

从图4中可以看出：双重介质页岩气藏水平井渗流可能出现如下流动阶段：①早期纯井筒储集阶段，无因次拟压力及其压力导数重合的且斜率为1的直线段；②井筒储集后的过渡阶段；③垂向径向流阶段，无因次拟压力导数值为(1/4)LD的水平直线段；④中期线性流阶段，无因次拟压力导数曲线为斜率等于1/2的斜线段；⑤裂缝系统拟径向流阶段，无因次拟压力导数曲线值为0.5的水平直线；⑥不稳态窜流阶段，无因次拟压力导数曲线形成下凹的特征；⑦系统径向流动阶段，无因次拟压力导数值为0.5的水平直线。

根据式(13)～(17)得出曲线的控制参数主要有：岩石压缩性吸附影响系数α；无因次井筒储集系数CD；表皮系数S；储容比ω；窜流系数λ；无因次储层厚度dD；无因次水平井长度LD；表观渗透率函数f(Kn)等。下面对各参数对压力特征曲线的影响进行分析。

4.1 岩石压缩性吸附影响系数

在页岩气藏水平井渗流模型外边界为无穷大条件下，储层参数:CD=100 m3/Pa,S=2,ω=0.2,λ=10-8,dD=200 m,LD=20 m,f(Kn)=2时，分析岩石压缩性吸附影响系数α对页岩气藏储层压力变化特征曲线的影响(图5)。研究表明：α越小，储层含气量越大，无因次拟压力导数曲线的窜流阶段“下凹”越明显，且持续时间越长，甚至掩盖了裂缝径向流，并使晚期拟径向流动阶段延迟，无因次拟压力值越低。

图5 岩石压缩性吸附影响系数对水平井压力特征曲线的影响 Fig.5 Effect of rock compressibility adsorption influence coefficient on horizontal well pressure characteristic curve

4.2 表观渗透率函数

当模型外边界为无穷大条件下，假设储层参数:CD=100 m3/Pa，α=0.1，S=2，ω=0.2，λ=10-8，dD=200 m，LD=20 m时，分析表观渗透率函数f(Kn)对压力特征曲线的影响(图6)。研究表明：表观渗透率函数值f(Kn)与岩石压缩性吸附影响系数α对压力曲线特征的影响相似，f(Kn)越小，窜流阶段“下凹”越明显，且持续时间越长，后期拟径向流发生越晚。

图6 表观渗透率函数对水平井压力特征曲线的影响Fig.6 Effect of apparent permeability function on horizontal well pressure characteristic curve

4.3 无因次水平井长度

在水平井所处位置不变的情况下，当LD越大，井筒储集后过渡阶段上凸位置向下平移，垂向径向流阶段的无因次拟压力导数水平线位置越高，其值约为“()LD”，裂缝径向流、窜流阶段越明显(图7)。

图7 无因次水平井长度对压力特征曲线的影响Fig.7 Effect of the length of sub-horizontal well on the pressure characteristic curve

4.4 无因次储层厚度

当dD越大，垂向径向流持续时间越长，使发生中期线性流时间延迟，甚至掩盖了裂缝系统的径向流阶段及基质向裂缝的不稳态窜流阶段(图8)。

图8 无因次储层厚度对水平井压力响应曲线的影响Fig.8 Effect of gas layer thickness on the pressure response curve

4.5 窜流系数

当λ越大，无因次拟压力导数曲线不稳态窜流阶段的“凹子”更靠前，掩盖了中期线性流、裂缝径向流等，无因次拟压力值越低；当λ越小，基质向裂缝不稳态窜流越晚，双重介质页岩气水平井渗流划分的阶段越清晰(图9)。

图9 窜流系数对页岩气藏压力响应曲线的影响Fig.9 Effect of interporosity flow coefficient on pressure response curve of shale gas reservoir

4.6 储容比

当ω越大，裂缝中游离气越多，垂向径向流、中期线性流持续时间越长；后期，不稳态窜流阶段“凹子”发生越晚且“凹子”越浅，反之，窜流发生越早，且时间长(图10)。

图10 储容比对页岩气藏压力响应曲线的影响Fig.10 Effect of storage capacity ratio on pressure response curve of shale gas reservoir

5 结 论

a.在页岩气藏开采中，页岩吸附气微观运移表现形式为解吸-扩散-渗流，在基质运移以扩散为主，且扩散类型服从Knudsen扩散，在裂缝中以渗流为主。采用Kn参数与表观渗透率函数f(Kn)，对基质固有渗透率进行修正，描述页岩气在基质不同流态下基质综合渗透率。

b.考虑页岩气以吸附态存储于基质中，游离气储存于裂缝中，对常规油气藏连续性方程进行修正，并引入岩石压缩性吸附影响系数及表观渗透率函数，建立并求解了无穷大外边界页岩气藏基质向裂缝不稳态窜流的水平井渗流模型。

c.绘制页岩气水平井压力特征曲线，划分流动阶段；并分析敏感参数对典型曲线的影响。其中岩石压缩性吸附影响系数α与表观渗透率函数值f(Kn) 越小，窜流持续时间越长；窜流系数λ越小，窜流阶段发生越晚；储容比ω越大，水平井垂向径向流持续时间越长，窜流发生越晚且持续时间短。