单自由度复杂平面连杆机构的奇异性探究

王亚楠

摘 要：受结构模式与原动力输入方式的影响，单自由度平面连杆机构存在显著的运动奇异性问题。本文从阐释单自由度复杂平面连杆机构的概念与类型入手，针对等效四连杆机构的死点位置进行了分析，围绕包含2～3个移动关节的平面六连杆机构与单自由度双蝶八连杆机构两个实例针对其奇异性进行了探讨，以供参考。

关键词：平面连杆机构；单自由度；奇异性；等效四连杆机构

1引言

奇异性主要用来描述连杆机构的运动特性，当连杆机构在运动过程中到达了死点位置，受输入极限值的影响，连杆机构即会发生瞬时失控或锁死问题，严重妨碍到连杆机构的连续性运动。然而同样也存在部分装置需寻找到死点位置完成自锁，因此针对单自由度复杂平面连杆机构的奇异性研究具有一定的实用价值。

2单自由度复杂平面连杆机构的概念与类型

2.1等效连杆机构的运动特性

从一阶等效连杆机构的运动速率与运动特性角度入手，该机构主要由构件的运动瞬心承担瞬时运动关节作用，以此保障其继承原始连杆机构的瞬时运动特征。鉴于等效连杆机构的杆件数量少于原始复杂机构，因此在进行机构运动特性判断时也需要应用全新的方法。通常在单自由度复杂平面连杆机构中，主要借助等效四连杆机构法用以展示其一阶运动特性，等效四连杆机构内部包含4个速度瞬心，这些速度瞬心位于原始连杆相邻部位，用以判断连杆机构的速度分布状态及运动传递特性，其中选取相应4个瞬心充当等效四连杆机构的运动关节，从而描述单自由度平面连杆机构的运动特征。

具体来说，等效四连杆机构的主要构件由原始连杆机构中的4个连杆与4个速度瞬心构成，其中选取1个瞬心充当其输入关节，用以连接复杂连杆机构内部的输入杆与机架杆，而另外2个连杆则自动成为连杆机构中的输出杆和连架杆。将4个连杆以机架、输入、连架、输出的次序进行排列连接，相邻两杆件的速度瞬心即构成等效四连杆机构的瞬时关节，用以保障复杂平面连杆机构的瞬时运动特性。

2.2等效四连杆机构的主要类型

在单自由度复杂平面连杆机构中寻找等效四连杆机构时，首先要选取对应的机架杆与输入杆，将二者相连即可定位输入关节，随即在机构内部任意选取2个杆件作为连架杆和输出杆，进而依照上述次序将杆件有序连接，即可在任意两杆件的连接处找到运动瞬心，确定其中的4个关节，而相邻2个关节间的等效杆即成为机构中的4个杆件。

通常情况下，等效四连杆机构主要涵盖以下两种分类：类型A，机构中的杆件由原复杂连杆机构中的四杆环直接构成；类型B，机构中的杆件来源于原复杂连杆机构中的非四杆环，其杆件既有可能是杆环中的部分杆件，也有可能是其他环中的杆件。受其杆件来源差异性影响，等效四连杆机构的杆件组合方式也呈现出多种形态。以StephensonⅡ型六杆机构为例，[A0ECC0]结构中的连杆EC与[AA0C0F]结构中的三元杆BCD的运动状态保持一致，当其中的杆1、杆2分别充当机架杆与输入杆，运动瞬心[I12]充当输入关节时，其中的杆[A0E]与杆[A0AB0]即可等效成为相同单元，而[A0ECC0]即为复杂连杆机构中的等效四连杆机构。在此需要注意的是，其中选取杆AD与杆[B0B]分别作延长线，其交点也可作为运动瞬心[I25]。由此该六杆机构中的等效四连杆机构主要由原始杆1、2、5、6与[I12]、[I25]、[I56]以及[I61]组成。此外，倘若在该六杆机构中选取杆1、2作为机架杆与输入干，选取杆3、5作为连架杆与输出杆，则四杆件与其对应瞬心[I12]、[I23]、[I35]以及[I51]也可构成一个等效四连杆机构[A0ADF]。

3关于等效四连杆机构的死点位置分析

等效四连杆机构的运动死点主要位于其连杆与输入杆共线处或3个非输入关节共线处，由于单自由度复杂平面连杆机构内部含有数量较多的杆件，其杆环与输入方式也呈現出多样性特征，针对死点位置与机构特征的分析存在一定的难度，而依托等效四连杆机构法进行死点位置研究可以为该问题的解决提供借鉴思路。

通常等效四连杆机构的4个关节中仅包含1个输入关节，等效四连杆机构的死点位置也可看做复杂平面连杆机构的死点位置，因此其判断规则可总结为以下两点：其一，当位于复杂平面连杆机构内部的等效四连杆机构的3个非输入关节共线，则其判断该复杂机构的死点位置；其二，倘若任意复杂平面机构中的等效四连杆机构位于死点位置，则该复杂机构也一定位于死点位置。在此需要注意的是，倘若类型A中的等效四连杆机构位于死点位置，则其原始复杂机构也必然处于死点位置，同时也可推断出类型B中的等效四连杆机构处于死点位置；同理类型B中的等效四连杆机构处于死点位置也可决定其原始复杂机构处于死点位置，但却并不能判断类型A的等效四连杆机构处于死点位置，这是因为类型B中的等效四连杆机构的杆件来源于原复杂机构中的不同环。

具体来说，假设选取某杆件1、2分别作为等效四连杆机构中的机架杆与输入杆，选取任意p、q杆作为连架杆与输出杆，其4个杆件对应的运动瞬心分别为[I12]、[I2p]、[Ipq]以及[I1q]。其中杆件p、q、2的速度关系为：

[ωpω2=I12I2pI1pI2p]

[ωqω2=I12I2qI1qI2q]

当该复杂平面连杆机构位于死点位置时，上述公式即可得到无穷大值，[I1pI2p]的值为0，两个瞬心重合，且瞬心[Ipq]在直线[I1pI1q]与直线[I2pI2q]上，该复杂平面机构中等效四连杆机构的非输入关节[I2p]、[Ipq]以及[I1q]共线。倘若在该复杂平面结构中任意选取两个杆件充当等效四连杆机构中的杆件p与q，当类型A中的等效四连杆机构位于死点位置，则可判断类型B中的等效四连杆机构也必然也位于死点位置。由此可证明，该判断规则为单自由度复杂平面连杆机构死点位置的充分必要条件，能够有效判断出连杆机构死点的几何构型。

4基于实例的单自由度复杂平面连杆机构的奇异性探讨

4.1包含2～3个移动关节的平面六连杆机构

以Stephenson六连杆机构作为研究对象，首先选取其中的2个旋转关节替换为移动关节，借助等效四连杆机构判断方法针对其死点位置进行判断。将移动关节A设定为机构中的输入关节，分别选取构件3、4作为机构中的2个杆件，依托等效四连杆机构法可判断出该机构的死点位置位于类型A的等效四连杆机构[I12I24I34I13]中瞬心[I24]、瞬心[I34]与瞬心[I13]所处的同一条直线上，即为该机构的奇异位置。同时，由于四杆环ABCD构成了曲柄滑块机构，依据死点位置判断原则可判断其位于死点位置，其中杆件BC与滑块导路方向保持垂直关系。假设选取构件4、5作为等效四连杆机构中的连架杆与输出杆，则依据三心定理可判断出杆件2、5的运动瞬心[I25]与杆件1、5的运动瞬心[I15]所处的具体位置，进而在类型B的等效四连杆机构[I12I25I45I15]中瞬心[I25]、[I45]与[I15]位于同一条直线上，即为该复杂机构的奇异位置，此时杆件EF与滑块导路方向呈垂直关系。

接下来同样以Stephenson六连杆机构作为研究对象，选取其中的3个旋转关节替换为移动关节，设关节A为输入关节，杆1、2分别作为机架杆与输入杆，杆3、4为连架杆与输出杆，则可判断处当该机构中的等效四连杆机构[I12I24I34I13]中瞬心[I24]、[I34]与[I13]处于同一条直线上时，即为该机构的奇异位置。当选择杆4、5作为连架杆和输出杆时，则在机构中的等效四连杆机构[I12I25I45I15]中的瞬心[I25]、[I45]、[I15]处于同一条直线上时，即可判断为该机构的奇异位置。

4.2单自由度双蝶八连杆机构

以PENNOCK所设计的单自由度双蝶八连杆机构作为研究对象，利用等效四连杆机构法寻找其死点位置，便可以有效判断出该复杂机构的奇异性。在该机构中任意选取杆1、2作为机架杆与输入杆，选取杆3、7作为连架杆与输出杆，将其依照指定次序进行组合，构成等效四连杆机构[I12I23I37I17]。当该等效四连杆机构中的三个非输入关节[I23]、[I37]与[I17]共线时，即可判断出该等效四连杆机构处于死点位置，进而推断出该单自由度双蝶八连杆机构同样处于死点位置，由此便可以准确有效地判断出单自由度复杂平面连杆机构的奇异性，为同类型连杆机构的研究提供重要借鉴价值。

5结论

通过研究等效四连杆机构的运动特性与基本类型，能够为单自由度复杂平面连杆机构的奇异性判断提供重要研究思路。当前已有多名国内外学者提出了诸如等效机械手工作空间法、虚杆等效法、判别式法、Clifford代數法等研究方法，未来还应进一步针对复杂平面连杆机构在死点位置的构型进行深入研究。

参考文献

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