失效非线性相关的桥梁截面可靠性Vine-Copula数据融合

刘月飞， 樊学平

(1. 兰州大学 西部灾害与环境力学教育部重点实验室， 甘肃 兰州 730000；2. 兰州大学 土木工程与力学学院， 甘肃 兰州 730000)

桥梁健康监测(bridge health monitoring, BHM)系统在长期运营过程中积累了大量数据，如何利用这些数据分析桥梁可靠性，在国内外还处于研究的起步阶段，但已成为BHM领域的主要科学问题和共识问题.

桥梁可靠性研究主要是利用抗力信息(如：容许应力、容许挠度等)和荷载效应信息(如：应力、挠度等)，采用合适的可靠性计算方法(如：一次二阶矩可靠性分析方法、一次可靠性分析方法等)，进行构件或体系的可靠性分析.现定义桥梁截面监测点的可靠度为构件可靠度，而考虑多个监测点非线性相关或独立的桥梁截面可靠度为体系可靠度.

基于BHM数据的桥梁可靠性研究已取得一些成果.国外，Ni等[1]首次提出基于BHM数据的桥梁可靠度评估的概念；Frangopol等[2-3]首次给出基于BHM数据的桥梁体系可靠度评估的基本框架流程，并将其应用于工程实例，分析中假定各个监测点失效模式相互独立，同时给出基于监测应力极值的钢板梁桥可靠度评估方法[4-5]；Dissanayake等[6]采用BHM数据，假定各个监测点失效模式相互独立，分析研究了一座旧桁架桥的体系可靠性；Pourali等[7]提出了一种新的传感器优化布置方法，并在此基础上亦假定各个监测点失效模式相互独立，进行了结构体系可靠性分析.国内，李顺龙[8]结合BHM和检测数据，分析研究了混凝土桥梁主梁构件的可靠性；焦美菊等[9]研究了BHM与可靠度评估相结合的桥梁构件性能评估方法；赵卓[10]采用ARMA模型，利用BHM数据研究分析了长春伊通河桥构件的可靠度；陈志为[11]基于BHM系统提出大跨多荷载悬索桥关键位置的疲劳可靠度分析框架，并应用于香港青马大桥；樊学平[12]基于BHM数据，采用贝叶斯动态模型和粒子滤波器，亦假定各个监测点失效模式相互独立，研究分析了天津富民桥的体系时变可靠性；Liu等[13-14]基于BHM数据，初步假定2个监测点失效模式非线性相关，研究了长春伊通河桥主梁可靠性分析方法.

由上述研究现状可知，基于监测数据的桥梁可靠性研究主要集中在构件(单个监测点)、失效模式相互独立的结构体系(多个监测点组成的结构体系)以及2个监测点失效模式非线性相关的结构体系3个层面.考虑到桥梁结构体系存在多个失效模式，且具有共同的输入随机源，因而这些失效模式相互之间存在相关性，其中非线性相关性一般蕴含线性相关性的特性[13-15].因此，基于BHM数据，建立多个监测点失效模式相互之间的非线性相关性模型，进而合理分析结构体系可靠性需要深入展开研究.

鉴于上述存在的问题，以在役桥梁主梁截面为研究对象，基于主梁截面多个监测点(对应多个监测变量)的日常极值应力监测数据，首先，引入Pair-Copula模型和二元Copula模型，建立刻画多个测点监测变量两两之间非线性相关性的Vine-Copula模型，进而，结合测点的功能函数，进行多个监测点失效模式非线性相关性的建模分析；然后，结合一次二阶矩(FOSM)方法，进行失效非线性相关的主梁梁截面可靠性分析；最后，通过在役桥梁监测数据进行验证分析.

1 监测变量的Vine-Copula模型

在役桥梁每个截面均包含多个监测点，对应多个监测变量，分别指多个测点的日常监测极值应力.由于具有共同输入随机源(如：共同的荷载作用)，这些监测变量相互之间存在非线性相关性[13-15].引入Pair-Copula理论和二维Copula理论建立刻画这些非线性相关性的Vine-Copula模型.

1.1 Pair-Copula理论

Bedford等[16-17]提出了基于Pair-Copula构造模块(Pair-Copula construction)的多元随机变量联合分布概率模型.Pair-Copula构造模块为多维随机变量提供了一种分离变量间相依结构的方法，可以将多维随机变量按照某种逻辑结构分解为多个两两变量的Pair-Copula模块，为Copula理论在高维随机变量的应用中提供了理论基础.

将桥梁某截面n个监测点所对应的监测极值应力定义为一个n维随机变量X=(x1,x2,…,xi,…,xn)，基于Copula模型的联合概率密度函数f(x1,x2,…,xi,…,xn)按照条件密度函数理论可以写为

f(x1,x2,…,xi,…,xn)=c(F1(x1),

(1)

式中：c为Copula密度函数；Fi(xi)和fi(xi)分别为随机变量xi的边缘概率分布函数和概率密度函数.

由式(1)可得二维随机变量的联合概率密度函数为

f(xa,xj)=caj(Fa(xa),Fj(xj))fa(xa)fj(xj)

a,j=1,2,…,n且a≠j

(2)

式中：caj(Fa(xa)、Fj(xj))为xa和xj的二维Copula密度函数.

由式(2)，可以推导得到：在xj已知的条件下，xa的概率密度函数为

f(xa|xj)=caj(Fa(xa),Fj(xj))fa(xa)

a,j=1,2,…,n且a≠j

(3)

由式(3)可得在n维随机变量u已知的条件下，任意随机变量x的条件密度函数为

f(x|u)=cxua|u-a(F(x|u-a),F(ua|u-a))·

f(x|u-a)

(4)

式中：ua是n维随机变量u中的一个分量；u-a是n维随机变量u中去掉ua之后的n-1维分量.

1.2 二元Copula结构

常见的二元Copula函数有5种，如表1所示.采用Gaussian Copula函数对非线性相关性进行研究，由表1可以得到二元Gaussian Copula函数.式(5)是二元Gaussian Copula概率分布函数；式(6)是二元Gaussian Copula概率密度函数.

表1 5种典型的Copula函数

C(u1,u2;ρ)=

ΦG(Φ-1(u1),Φ-1(u2);ρ)=

(5)

(6)

式中：ui=Fi(xi),i=1,2，Fi(xi)是xi的边缘概率分布函数；ΦG为Gaussian copula函数；Φ为标准正态分布函数；Φ-1为Φ的逆函数；r=Φ-1(u1)；s=Φ-1(u2)；ρ为Copula函数的相关参数，ρ∈[-1,1].

Kendall秩相关系数是Copula函数常用的相关性测度.Kendall秩相关系数τk与Copula函数的关系如式(7)所示[13-15]：

(7)

根据文献[15]，可以得到ρ与τk的关系为

(8)

1.3 “Vine”结构及其分解

多元随机变量联合分布存在许多复杂的Pair-Copula分解结构，Bedford等[16-17]引入Vine结构对这种复杂逻辑结构进行描述.

高维Copula函数通过Vine结构可以有效实现多维随机变量间两两相依结构的相关组合.采用Vine结构理论将多元随机变量分解为单元Pair-Copula构造模块.

由Vine的定义[16-17]可知，每个Vine由多棵树(tree)组成，每棵树含有多个结点(node)，连接2个节点的线叫做边缘(edge).不同的Vine结构具有不同的性质，其中应用最广、性质最好的是Regular Vine[16-18].

Regular Vine包含多种组成结构，其中最常用的是C-Vine和D-Vine，这两类Vine结构都能在不同树状集合的逻辑结构下对高维分布进行分解，以四维监测变量为例，分别建立C-Vine和D-Vine，如图1和图2所示.

a 树1

b 树2

c 树3

图2 四维D-Vine Copula分解结构

图1为一个四维C-Vine Copula结构分解图，该Vine结构共有3棵树，每棵树有一个主节点，每个主节点都会连接到其他节点上，每条连接主节点与其他节点的边对应的就是一个Pair-Copula；图2为一个四维D-Vine Copula结构分解图，该Vine结构亦包含3棵树，共有6条边，每条边对应一个Pair-Copula.

由图1可得，四维随机变量(x1,x2,x3,x4)的C-Vine联合密度函数如式(9)所示；由图2可得，四维随机变量(x1,x2,x3,x4)的D-Vine联合密度函数如式(10)所示.

f(x1,x2,x3,x4)=

f1(x1)f2(x2)f3(x3)f4(x4)c12(F1(x1),F2(x2);ρ12)×c13(F1(x1),F3(x3);ρ13)c14(F1(x1),

F4(x4);ρ14)×c23|1(F2|1(x2|x1),F3|1(x3|x1);

ρ23|1)×c24|1(F2|1(x2|x1),F4|1(x4|x1);ρ24|1)×

c34|12(F3|12(x3|x1,x2),F4|12(x4|x1,x2);ρ34|12)

(9)

f(x1,x2,x3,x4)=

f1(x1)f2(x2)f3(x3)f4(x4)c12(F1(x1),F2(x2);ρ12)×c23(F2(x2),F3(x3);ρ23)c34(F3(x3),

F4(x4);ρ34)×c13|2(F1|2(x1|x2),F3|2(x3|x2);

ρ13|2)×c24|3(F2|3(x2|x3),F4|3(x4|x3);ρ24|3)×

c14|23(F1|23(x1|x2,x3),F4|23(x4|x2,x3);ρ14|23)

(10)

式中：ρ·,·和ρ·,·|·是对应Copula函数的相关参数；Fi(·)表示每个随机变量的累积分布函数；F·|·(·|·)表示条件分布函数；c·,·(·,·)表示Copula密度函数；c·|·(·|·)表示条件Copula密度函数.

2 失效模式非线性相关的在役桥梁截面可靠性分析

基于上述所建立的刻画多个监测变量相互非线性相关性的Vine-Copula模型(如图1、图2、式(9)以及式(10)所示)，多个监测点失效模式非线性相关性模型可利用两两监测点失效模式间的二元失效模式(Pair-Copula模块)，通过Vine结构来建立.利用所建立的Vine-Copula模型可实现失效非线性相关的钢梁截面可靠性分析，核心流程如图3所示，详细步骤为：① 基于容许应力和监测极值应力信息，采用FOSM方法，计算监测点可靠指标和失效概率；② 基于监测点失效概率，采用Pair-Copula理论，进行仅有2个监测点且其失效模式非线性相关的桥梁截面可靠性分析；③ 基于两测点失效模式非线性相关的截面可靠性分析结果，采用串联体系可靠性分析方法，进行含有多个监测点且其失效模式相互非线性相关的桥梁截面可靠性分析.

图3 可靠性计算流程

2.1 一次二阶矩方法

假设抗力R和极值荷载效应S相互独立，对应的平均值和标准差分别为μR、σR和μS、σS.

理论极限状态方程为

g(R,S)=R-S

(11)

采用FOSM方法[12, 15]，可得可靠性指标βt计算公式为

(12)

2.2 截面监测点可靠指标计算

钢梁截面监测点极限状态方程为

g(σ,M)=σ-γPM

(13)

式中：σ为钢材屈服强度；M为监测极值应力；γP为传感器修正系数.

结合式(12)可得监测点可靠指标βP为

(14)

式中：μM和σM分别为监测极值应力的平均值和标准差；μσ和σσ为钢材容许应力的平均值和标准差；γP是传感器的修正系数.极值应力指每天监测正应力的极大值或每天监测负应力绝对值的极大值.

2.3 2个失效模式非线性相关的可靠性分析

单元Pair-Copula模块中的二元结构体系有2种形式：串联体系和并联体系.任意2个监测点形成的二元组合结构体系是并联体系，根据文献[15]可得，n维并联结构体系的失效模式功能函数为

hq(Yq)=[σ]-Yq,q=1,2,…,n

(15)

式中：n表示监测点总数；q表示第q个监测点；Yq表示第q个监测点的监测极值应力.

基于式(5)～(8)，可得单元Pair-Copula模块中任意二元组合结构体系失效模式同时发生的概率为

Phi(Yi)≤0,hj(Yj)≤0=P{hi(Yi)≤

CHi(0),Hj(0);ρij=Cpfi,pfj;ρij

i,j∈1,2,…,n且i≠j

(16)

2.4 多个失效模式非线性相关的桥梁截面可靠性分析

假定桥梁截面任意2个监测点非线性相关的二元结构体系呈串联关系，采用式(9)和式(10)可得多个失效模式非线性相关的桥梁截面失效概率为

(17)

式中：fi、fj分别为i和j测点失效对应的功能函数.对应的多个失效模式相互独立的桥梁截面失效概率为

pfsystem=maxpfi,i=1,2,…,n

(18)

式中：pfi是第i个监测点的失效概率.

3 算例分析

采用天津富民桥主梁A截面的健康监测数据对其截面可靠性进行分析，截面A的位置以及截面传感器布置分别如图4和图5所示.由图5可知，利用8个传感器对A截面极值应力进行健康监测，通过对各个测点的日常极值应力数据进行比较分析可知，以下4个传感器(即FBG01081、FBG01078、FBG01080、FBG01077)得到的极值应力(正应力或负应力绝对值的极大值)数据偏大，因而利用其对应4个监测点的数据对A截面的可靠性进行分析.采集到的应力信息包含了车辆荷载、温度荷载、收缩徐变以及结构变化造成的应力信息，结构自重造成的应力亦包含在其中.

在不考虑监测点失效模式相依性的情况下，4个监测点的最大失效概率认为是A截面的失效概率可用式(18)进行计算.在考虑监测点失效模式相依性的情况下，所有任意组合模块(Pair-Copula模块)中的最大失效概率认为是A截面的失效概率可用式(17)进行计算.

图4 富民桥主梁监测截面分布

图5 A截面的传感器布置

对天津富民桥横梁底板横桥向A截面极值应力进行了1 000 d的监测(注：极值应力指的是每天监测得到的应力绝对值的极大值)，保证了4个监测点极值应力的概率统计特性得到正确提取.其中，传感器FBG01081的监测点视为a点，传感器FBG01078的监测点视为b点，传感器FBG01080的监测点视为c点，传感器FBG01077的监测点视为d点.A截面4个监测点的监测应力时程曲线如图6所示.基于这些监测极值应力数据，采用Kolmogorov-Smirnov (K-S) 检验方法[4-5, 12-15]，可得4个监测点监测变量的概率密度函数和概率分布函数，利用式(7)、(8)和式(15)可得4个监测点失效模式两两之间的Copula相关参数：ρab=-0.96、ρac=ρac|b=0.95、ρad=ρad|bc=0.85、ρbc=ρbc|a=0.06、ρbd|a=ρbd|c=0.20、ρcd=ρcd|ab=0.85.

图6 监测应力时程曲线

基于Pair-Copula理论、极值应力监测数据以及所得的Copula相关参数，分别采用C-Vine结构和D-Vine结构，进行了考虑失效模式非线性相关性的四元钢梁截面可靠性分析.

根据C-Vine结构可将四元(即4个监测点)钢梁截面体系分解成6个系列两两结构相依的失效模块(Pair -Copula模块)，即：Cab、Cac、Cad、Cbc|a、Cbd|a、Ccd|ab(C表示基于C-Vine结构的Pair-Copula模块)，每个失效模块所对应的Gaussian Copula函数PDF(probability density function)可由式(2)～(4)和式(6)～(8)计算得到.根据D -Vine结构同样也将四元桥梁结构体系分解成6个具有相依性的模块即Dab、Dbc、Dcd、Dac|b、Dbd|c、Dad|bc(D表示基于D-Vine结构的Pair-Copula模块)，每个失效模块所对应的Gaussian Copula函数PDF同样可由式(2)～(4)和式(6)～(8)计算得到.

参考上述监测点失效模式间Copula相关参数值，利用式(5)和式(15)分析可得，任意2个失效模式之间均相关.

对4个监测点的健康监测数据进行K-S检验，可知4个监测点的极值应力数据均服从正态分布，与文献[2, 4]研究的极值应力分布类型相一致.由文献[12, 15]可知：天津富民桥钢梁钢材的容许应力服从均值为345 MPa、标准差为103.5 MPa的正态分布(变异系数取值0.3)，因而，可以采用一次二阶矩方法对监测点可靠性指标进行计算.

结合式(14)可得可靠性指标计算公式为

(19)

式中：μ和σ为监测点极值应力绝对值的平均值与标准差.

进而可得天津富民桥横梁底板横桥向A截面4个监测点的可靠性指标分别为βa=3.201 1,βb=2.693 7,βc=3.120 3,βd=3.154 5.

采用pf=Φ(-β)，可以得到A截面4个监测点的失效概率分别为pfa=0.002 4,pf=0.010 6,pfc=0.003 1,pfd=0.002 8.

进而利用式(18)可得不考虑失效模式相关性的A截面失效概率为pf1=maxpfa,pfb,pfc,pfd=0.010 6.

结合图1，利用式(9)、式(13)～(16)，可得C-Vine结构的四元桥梁截面各组合模块失效模式对应的失效概率分别为pfab=1.05×10-77,pf=1.60×10-3,pfad=9.90×10-4,pfbc|a=5.24×10-5,pfbd|a=1.17×10-4,pfcd|ab=1.10×10-3.

进而利用式(17)可得，考虑失效模式相关性时，基于C-Vine的A截面失效概率为pf2=maxpfab,pfac,pfad,pfbc|a,pfbd|a,pfcd|ab=1.6×10-3.

结合图2，利用式(10)、式(13)～(16)，可得D-Vine结构的四元桥梁截面各组合模块对应的失效概率分别为pfab=1.05×10-77,pfbc=2.27×10-42,pfcd=1.70×10-3,pfac|b=1.00×10-3,pfbd|c=2.5×10-4,pfad|bc=5.49×10-6.

进而利用式(17)可得，考虑失效模式相关性时，基于D -Vine的A截面失效概率为pf3=maxpfab,pfbc,pfcd,pfac|b,pfbd|c,pfad|bc=1.7×10-3.

由上述结果可知，采用C-Vine结构或D-Vine结构，天津富民桥主梁A截面考虑监测点失效模式相关性的失效概率小于不考虑失效模式相关性时的截面失效概率.

4 结论

提出了基于Pair-Copula理论和监测极值应力数据的考虑监测点失效模式非线性相关性的桥梁截面可靠性分析方法.基于天津富民桥截面监测极值应力数据的验证分析，得出如下结论：考虑多个监测点失效模式非线性相关性所得桥梁截面失效概率比不考虑失效模式相关性所得结果偏小，说明不考虑失效模式相关性计算所得的结果具有一定的保守性，考虑失效模式相关性计算所得结果更加合理.

采用多测点的极值应力数据进行服役阶段桥梁截面承载能力极限状态的可靠性分析，为在役桥梁安全评价提供理论基础和应用方法.利用式(14)计算得到的监测点可靠性指标偏小，甚至小于设计可靠性指标，主要是式中考虑了传感器修正系数γP.规范规定的可靠性指标针对设计层面，而基于健康监测数据的服役阶段桥梁可靠性，考虑到监测数据和模型的不确定性，需要进一步开展细化研究.由于只对主梁单个监测截面的体系可靠性进行了分析研究，所以对多个监测截面组成的主梁体系可靠性分析研究需要进一步分析研究.