统计应用题中对数据的处理与运算能力的培养

摘 要：与概率、统计有关的数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，也是考生失分较多的一种题型。纵观近年来高考真题，统计应用题中对考生的数据分析能力、处理与运算能力有上升趋势，估测计算型和信息迁移型频繁出现。高中数学本身就是一门难度较大的学科，在它的学习中不仅需要学生自身的努力，还需要一定的数感。

关键词：统计;应用题;高考

数学与我们的日常生活是紧密相关的，很多数学知识都来源于日常生活中，统计应用题就是根据我们的生活实际提炼抽象出来的一种数学题，它旨在让学生们通过对该题目的运算和理解来体会数学在实际生活中的具体应用，从而更真切的感知数学的实用性。当然，数学高考应用性问题关注当前国内外的政治，经济，文化，紧扣时代的主旋律，凸显了学科综合的特色。下面就近年来全国卷的真题例析数据的处理与计算能力。

（2017·全国Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）。根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）。

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望;

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查。

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性;

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

经计算得x=116∑16i=1xi=9.97，s=116∑16i=1（xi-x）2=116（∑16i=1x2i-16x2）2≈0.212，

其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16。

用样本平均数x作为μ的估计值μ^，用样本标准差s作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（μ^-3σ^，μ^+3σ^）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）。

附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ-3σ

【解析】（1）抽取的一个零件的尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，故X～B（16，0.0026）。

因此P（X≥1）=1-P（X=0）=1-0.997416≈0.0408。

X的数学期望E（X）=16×0.0026=0.0416。

（2）①如果生产状态正常，一个零件尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（μ-3σ，μ+3σ）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。

②由x=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为μ^=9.97，σ的估计值为σ^=0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（μ^-3σ^，μ^+3σ^）之外，因此需对当天的生产过程进行检查。

剔除（μ^-3σ^，μ^+3σ^）之外的数据9.22，

剩下数据的平均数为115×（16×9.97-9.22）=10.02。因此μ的估计值为10.02。

∑16i=1x2i=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，

剔除（μ^-3σ^，μ^+3σ^）之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×（1591.134-9.222-15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09。

求解应用题的一般步骤：1. 审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意。2. 建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。3. 转化为数学模型。4. 计算求解：利用所学数学知识求解，得到相应的数学结论。5. 返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。

随着社会的发展和科技的进步，人们也亲身感受到了教育的强大功能，它能提升一个国家的文化软实力和国民的整体素质，所以我们一定要对教育引起足够的重视。数学作为我国教育学科中的一门重要的基础性学科，更应该受到学习者的重视。数学知识的实际应用无处不在，统计知识在生活中的应用尤为突出，同时能够在很大程度上培养学生对数据的处理能力和运算能力，期待學习者带着一份别样的热情投入数学学科的学习。

参考文献：

[1]董海涛.认真挖掘“简单”内容的育人价值——对“统计”的教学认识[J].中国数学教育，2016（22）.

[2]程海奎.概率与统计难点分析及教学建议[J].中小学数学（高中版），2010（4）.

作者简介：

李春华，湖北省恩施市，恩施市第一中学。