化归思想方法在中学数学教学中的应用——以解方程（组）为例

广东省清远市清城区清城中学 向金华

近年来，教学实践显示，中学生在数学知识学习的过程中若加强对于化归思想的运用，往往能够实现学生数学思维逻辑能力的提升，促进中学生数学解题能力的培养以及锻炼。中学数学教师在实际的教学过程中加强了对于新型教学理论以及方法的运用，本文分析探讨数学教师在解方程（组）教学过程中如何采用化归思想，并论述了化归思想的内涵。

一、化归思想的概述

把尚未解决或难以解决的问题，通过适当的转化，逐步归结为已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题最终获解，这种思想称为化归思想。它是一种常用的重要的数学思想，它的运用往往能够实现对于复杂性较强的数学问题的解决，通过采用转化的方式，教师以及学生能够将复杂的数学题目简单化处理，帮助学生掌握相关知识点，从而实现对于各类问题的快速解答。总而言之，化归思想在数学解答过程中的实质就是通过转化的方式将新知识转化为已知的知识。

二、化归思想的应用

关于化归思想的应用，笔者以解方程（组）为例进行了相关总结，具体内容如下：

1．化繁为简——代入法、加减法

学生在进行方程问题解答时，需要将复杂的问题进行转换，将其转变为自我能力接受范围内的简单问题。解二元一次方程组中的代入法和加减法就是实现化归的最为典型的方法。通过转化，把“二元”转变为“一元”，把未知转变为已知，使方程组化为简单的一元一次方程，以便使用已有的方法求解。但是，在教学实践中，许多数学教师往往把教学侧重于二元一次方程组如何求解上，过分强调求解的步骤和注意事项，却忽视了“化归”思想的渗透，让学生错误地认为只要按部就班地解好方程组就学会“化归”了，这样的教学得不偿失。如果我们能将“化归”思想在教学中突显出来，落到实处，那么学生的分析能力、思维能力、推理能力等将大大提高。

对于解这个方程组，我们用代入消元法和加减消元法都不难求得正解。但深刻领悟到“化归”精髓的学生，便能想到把方程②变形为3（x+y）+y=14 ③，再把x+y 看作一个整体，将方程①整体代入③得3×4+y=14，解得y=2，从而快速求出方程组的解为。这样解方程组，岂不妙哉！

2．化生为熟——换元法

在借助化归思想进行方程题目解答的过程中，教师多采用换元法。它的内核就是借助一个变量将未知式子代替，从而促进题目的有效解答。换元法能将陌生的知识点题目转换为学生已经熟练掌握的知识，从而将陌生问题进一步转换为简单的题目，降低了问题解答难度，在最大程度上保障学生对于陌生知识习题的解答，实现解题效率的提升。换元法是解一些较复杂的分式方程时的一种常用方法，它还可以起到降次的作用，把高次整式方程降为低次整式方程，简化计算过程，减少计算量，是一种很重要的化归方法。

对于这个分式方程，如果用常规的方法去分母，原方程整理后就会变成于是，方程中未知数x 的次数变成了4 次，用现有的知识无法解答，求解就陷入死胡同了。但是，只要我们再观察这个方程的特点，就会发现各个部分的相互联系，根据方程中是互为倒数的关系，可设，则原分式方程就变形为比较熟悉的分式方程再进一步去分母化为学生已经熟练掌握的一元二次方程y2-2y+1=0，解得y1=y2=1。最后由即可求出原分式方程的解为x1=2，x2=-1。

3．化难为易——巧用韦达定理

对学生而言，与解方程（组）有关的各种题目中，计算难度最大的莫过于一元二次方程的题目了。而韦达定理为我们巧妙地展示了一元二次方程根与系数的关系，让我们不解方程也能得出方程两根和与两根积的值，简化了计算过程。因此，它在我们求一元二次方程中参数的值或取值范围时有着重要的作用，同时也可反过来构造一元二次方程，将非一元二次方程的问题转化为一元二次方程，另辟蹊径，峰回路转，化难为易。

例3：m,n 为不相等的两实数，且m2-3m+1=0,n2-3n+1=0，求的值。

在解答过程中，可以将m2-3m+1=0 进行移项、取倒数等方式转换为，故而能够将题目转化为从而将复杂的题目转换为学生熟悉操作的一元二次方程的根与系数的关系问题，即可使问题迎刃而解。

解：假设m，n 分别为x2-3x+1=0 的两个根，故而m+n=3，mn=1。

4．化一般为特殊——特殊值法

有些问题或者要考虑的情况较多，或者思路纷繁，或者计算量大，不易获得解决，此时可以转而研究相对较为容易解决的特殊情况，从特殊中寻找解决方法。通过特殊化，能够帮助猜测有待寻找的结论，也容易获得有关解决问题方法的启示。

例4：已知当x 为任何实数时，x2-2x+5=a（x+1）2+b（x+1）+c 都成立，求a，b，c 的值。

解决这个问题的突破口就在于把方程右边的部分进行化简，再根据方程左右两边的各项系数应相等而建立方程组求解。用这种常规的方法解决会花费较多的时间，思考、推理、演算较为费劲。而运用特殊值法“偷懒”解题，反而会事半功倍，见效神速。我们可以将x 分别取-1，0，1 这三个特殊，值代入原方程中可得：c=8，a+b+c=5，4a+2b+c=4，再将它们联立成三元一次方程组求解即可。

通过解方程（组）学习解题，是提高化归能力的重要途径。学生善于利用数学对象之间的相互联系，促成了数学问题的转化，通过转化，化繁为简、化生为熟、化难为易、化一般为特殊，运用有效的思维策略促进了问题的解决，提高了解题的效率。笔者相信，随着化归思想方法的落实到位，中学数学必将获得长足的发展，而学生在此过程中也能够实现对于各类初中数学知识的把握，实现其自身逻辑思维能力的培养以及锻炼，促进初中数学教学效果的显著提升。