基于动态规划的检测前跟踪算法的性能分析

乐 丹, 刘兆磊, 吴显燕

(1. 南京电子技术研究所，南京 210013；2. 南京农业大学，南京 210095)

0 引 言

检测前跟踪(Track-Before-Detect, TBD)是一种针对低信噪比目标检测与跟踪而提出的技术。TBD技术不在帧内做门限检测(或做低门限检测)，避免了传统先检测后跟踪技术目标信息丢失的缺陷。多帧联合处理使得TBD能够有效地区分噪声与目标，实现低信噪比目标的检测与跟踪。现有的TBD算法主要有：基于粒子滤波的TBD算法[1](PF-TBD)、基于霍夫变换的TBD算法[2](HF-TBD)、基于动态规划的TBD算法[3](DP-TBD)、基于随机有限集的TBD算法[4](RFS-TBD)等。本文主要关注DP-TBD技术。

DP-TBD技术利用动态规划算法将K维最优值函数搜索问题转化为K个一维搜索问题，大大降低了TBD算法的计算量，使其工程化应用成为可能。DP-TBD技术由Kramer等于1990年首次提出[3]，经历了近30年的发展，广泛应用于红外与雷达等传感器。由于监视区域广、目标容量大，TBD算法在雷达领域应用时面临计算量大、多目标跟踪、机动目标跟踪等问题。为了克服这些问题，学者们对DP-TBD算法进行了大量优化工作。在原始DP-TBD算法中，回波数据不做任何检测以避免目标信息丢失，考虑到雷达监视区域广，分辨单元非常多，目标相对整个监视区域分布稀疏，学者们对雷达回波数据首先经过低门限检测，超过门限的量测值才进行TBD处理[5,6]。这一预处理可大大减少需要处理的分辨单元数。Wang等人针对滑窗DP-TBD存在重复计算、延迟大的问题，提出了一种递归的DP-TBD算法[7]。Buzzi等人针对多目标跟踪问题，提出一种基于广义似然比检验的DP-TBD多目标跟踪算法[8]。岳等人针对目标转弯机动时转移步长与目标速度失配的问题，提出了卡尔曼DP-TBD算法[9]。在DP-TBD理论性能分析方面，Tonissen等人利用正态分布近似分析DP-TBD的理论性能[10]，存在逼近误差较大的问题。Johnston等人使用极值理论分析DP-TBD算法[11]，具有较小的逼近误差，但是该理论只适用于单目标和杂波背景均匀的情况。相比理论逼近算法，蒙特卡洛仿真方法不能给出通解，但是具有简单、新场景响应快、适用范围广、误差小等优点。雷达在实际工作时为了应对各种不同的场景，需采用多种工作参数。基于蒙特卡洛仿真的DP-TBD理论性能分析技术可快速地针对给定工作参数进行理论性能分析，给出相应的优化指导方案，更适合于DP-TBD算法在雷达领域中的工程化。本文通过分析雷达探测场景参数与DP-TBD算法参数的对应关系，建立了DP-TBD算法性能仿真模型，并利用蒙特卡洛仿真方法进行性能分析，该工作可用于指导DP-TBD算法的工程化与性能优化。

1 DP-TBD算法

与传统先检测后跟踪算法不同，TBD算法不对回波数据进行检测或者以较低门限进行检测，以保留尽可能多的目标信息，后期通过多帧积累区别目标与噪声。对于三维雷达，假设其量测空间有Nr×Na×Ne个分辨单元，则第k帧回波数据为一Nr×Na×Ne的方阵

Mk={mk(i,j,h)},1≤i≤Nr,1≤j≤Na,

1≤h≤Ne

(1)

其中

mk(i,j,h)=

(2)

Ak为常幅度、相位随机的复随机变量，wk(i,j,h)为零均值复高斯分布的噪声幅度。目标运动通常通过目标状态方程描述，即

Xk+1=FkXk+Vk

(3)

其中Fk为状态转移矩阵，Vk为过程噪声，服从零均值、协方差Qk的白色高斯分布，度量了目标运动的不确定性因素影响。DP-TBD算法通过动态规划算法从量测序列(M1,M2,…,MK)中估计出最优的目标状态序列(X1,X2,…,XK)。

动态规划算法要求将目标状态空间离散化，为了避免积累过程中的空间转换，大多数DP-TBD算法通常选取与量测空间一致的目标状态空间，并依据离散化量测过程离散化目标状态空间。DP-TBD算法一次K帧处理的流程如下所示。

(1)当k=1时，初始化所有的目标状态

I(X1)=m1(i,j,h)

(4)

SX1(1)=0

(5)

其中I(·)为积累的值函数值，SX1(·)记录了目标状态X1的变化历程，用于航迹回溯，(i,j,h)为第一帧中与目标状态X1对应的分辨单元。

(2)当2≤k≤K时，对所有的目标状态更新其值函数

(6)

(7)

其中ψ(Xk)表示第k帧预测目标状态为Xk的第k-1帧的所有目标状态集合，本文称之为积累搜索波门，|ψ(Xk)|称之为积累搜索波门大小，为第k帧中与(i,j,h)目标状态Xk对应的分辨单元。

(8)

2 性能仿真模型

同文献[10-11]，我们也采用虚警概率与检测概率两种指标度量DP-TBD的性能，其定义如下。

(1)虚警概率pfa定义为在仅有噪声存在的条件下，至少有一个值函数值超过阈值VT的概率，即

(9)

其中XK为噪声状态。

(2) 检测概率pd定义为目标真实状态附近至少有一个值函数超过阈值VT的概率，即

(10)

其中XK的位置分量在目标真实位置的2个单元格内，速度分量等于目标真实速度分量。

虚警概率与检测概率的计算关键均在于准确估计I(XK)的概率分布。由上一节，I(XK)的计算过程如下：

I(X1)=m1(i1,j1,h1)

⋮

(11)

记P(·)为某随机变量的概率分布函数，p(·)为某随机变量的概率密度函数。则I(XK)的概率密度函数可按如下方式递归计算

⋮

p(I(X1))=p(m1(i1,j1,h1))

(12)

其中*为卷积运算。这种精确计算的方式极其复杂。针对该问题，文献[10-11]分别采用正态分布近似与极值理论分析的方法，但存在或者逼近精度低或者适用场景简单的问题。在雷达实际探测场景中，目标可能具有不同的RCS起伏特性，雷达设计者也可能采用多种工作参数以更加有效地探测不同目标。这些因素均可能使得I(XK)的概率分布估计更加复杂。观察式(12),对于给定的积累帧数K，p(I(XK))由p(mk(ik,jk,hk))与|ψ(Xk)|的取值决定，其中1≤k≤K。式(2)表明mk(ik,jk,hk)的概率密度函数取决于噪声幅度分布与目标幅度分布决定。观测不同RCS起伏特性的目标或者采用多脉冲非相参积累或者背景杂波的幅度分布不同均可能改变mk(ik,jk,hk)的概率密度函数。雷达数据率、带宽、波束宽度、驻留时间、量测空间维度、目标动力特性等参数的差异均会导致积累搜索波门大小|ψ(Xk)|的取值不同。表1给出了一些雷达探测场景参数对DP-TBD参数的对应关系。文献[10-11]的结果仅针对单脉冲、Swerling 0类目标，因此很难适用于实际工程中的复杂场景。蒙特卡洛仿真技术通过计算机随机模拟TBD在各种场景中的积累过程，具有简单、新场景响应快、适用范围广、误差小等优点，尤为适合分析复杂场景下的TBD算法性能。

表1 一些雷达探测场景参数与TBD参数的对应关系

考虑某具体场景，假设目标以300m/s的速度沿雷达径向飞行，表2给出了不同雷达参数下积累搜索波门大小|ψ(Xk)|的取值。带宽越低、数据率越高，|ψ(Xk)|的取值越小。当目标进行非径向飞行时，ψ(Xk)还需包含方位维、俯仰维的搜索单元；当雷达具有多普勒速度测量功能时，ψ(Xk)还需包含多普勒维的搜索单元。对于两个不同的积累搜索波门ψ1(Xk)与ψ2(Xk)，记

(13)

若ψ1(Xk)⊂ψ2(Xk)，则I1(Xk)≤I2(Xk)。为保持恒虚警，需设置更大的阈值VT，进而导致检测概率pd降低，因此|ψ(Xk)|的取值越小越好。另一方面，由于过程噪声、测量误差、目标机动、模型不匹配等因素，我们很难精确地确定目标下一时刻所在的位置，即理想情况|ψ(Xk)|=1很难达到。因此集合ψ(Xk)的选取准则是在尽可能包含真实目标位置的前提下最小化|ψ(Xk)|。下一节我们将详细分析不同RCS起伏模型下|ψ(Xk)|对TBD性能的影响。

表2 目标以300 m/s速度径向飞行时不同雷达参数下的积累搜索波门大小

3 仿真结果与分析

本节将针对两种背景杂波下具有不同RCS起伏模型的目标分别分析搜索波门大小|ψ(Xk)|对DP-TBD算法检测性能的影响。两种背景杂波的功率分别服从复高斯分布与韦布尔分布。仿真中假定对于k=1,2,…,K，集合ψ(Xk)的元素数量固定不变，设为φ，即|ψ(Xk)|=φ,k=1,2,…,K。具体来说，本节将对理想情形φ=1与表2中φ=9,21,81,401的情形进行蒙特卡洛性能分析。蒙特卡洛仿真次数为109次。

首先分析复高斯背景杂波的场景。图1给出了DP-TBD算法为了达到pfa=10-6的虚警概率所需的阈值VT与积累搜索波门大小φ、积累帧数K的关系。给定积累帧数K，阈值VT随着φ的增加而增大。具体地，当K=6时，φ=1,9,21,81,401对应的阈值VT分别为14.06dB、15.56dB、16.03dB、16.70dB与17.35dB，阈值VT随φ的变化率呈显著非线性，φ越小阈值VT变化率越大。给定积累搜索波门大小φ,阈值VT随着K的增加而增大。

图1 虚警概率为10-6时，积累值函数阈值VT与积累帧数K、积累搜索波门大小φ的关系

图2给出了Swerling 0类目标在虚警概率pfa=10-6，积累圈数K=6时，单帧、K帧非相参积累以及不同φ值的DP-TBD等检测算法的性能比较。当φ=1时，DP-TBD性能与K帧非相参积累的理论性能相同。随着φ值增大，DP-TBD的检测性能逐渐下降。具体地，当检测概率pd=0.8时，非相参积累得益6.2dB，积累搜索波门大小φ=1,9,21,81,401时的DP-TBD得益分别为6.2 dB、4.6 dB、4.1 dB、3.4 dB与2.7 dB。相对于非相参积累，φ=1时，DP-TBD的检测性能与非相参积累相同；φ=9时，DP-TBD检测性能下降1.6 dB，平均每单位φ下降0.18 dB；φ=21时，DP-TBD检测性能下降2.2 dB，平均每单位φ下降0.10 dB；φ=81时，DP-TBD检测性能下降2.8 dB，平均每单位φ下降0.03 dB；φ=401时，DP-TBD的检测性能下降3.5 dB，平均每单位φ下降0.01 dB。综上，对于Swerling 0类目标，DP-TBD的检测性能随着φ的增大而下降，下降幅度与φ值呈非线性关系，φ越小下降速率越大。

图2 针对Swerling 0类目标，虚警概率为10-6，积累圈数K=6时各种算法的检测性能对比

图3 针对RCS起伏目标，虚警概率为10-6，积累圈数K=6时各种算法的检测性能对比

图3给出了RCS起伏目标在虚警概率pfa=10-6，积累圈数K=6时各种算法的检测性能比较。Swerling I/II类目标的RCS服从自由度为2的卡方分布，Swerling III/IV类目标的RCS服从自由度为4的卡方分布。在RCS起伏强弱方面，Swerling I/II类目标最强，Swerling III/IV类目标次之，Swerling 0类目标最弱(不起伏)。在起伏快慢方面，Swerling I/III类目标为慢起伏，脉冲间相关，扫描间不相关，Swerling II/IV类目标为快起伏，脉冲间不相关。因为我们的仿真对象为单脉冲多圈积累，所以Swerling I/II类目标的结果相同，Swerling III/IV类目标的结果相同。同非起伏目标，当φ=1时，DP-TBD性能与K帧非相参积累的理论性能相同。随着φ值增大，DP-TBD的检测性能逐渐下降。表3给出了检测概率为0.8，虚警概率为10-6，积累圈数K=6时各种算法对不同目标模型的检测得益对比，这里的检测得益是相对于单帧检测来说的。可以看出，对于同一种算法，Swerling I/II类目标的检测得益总是高于Swerling III/IV类目标，高于Swerling 0类目标，与目标RCS起伏强弱成正比。

表3 检测概率为0.8，虚警概率为10-6，积累圈数K=6时不同算法对各种目标模型的检测得益对比

图2与图3的检测概率曲线均表明对于某些φ值，当信噪比较低时DP-TBD算法的性能不但没有积累得益，反而降低。表4给出了这些算法没有得益时对应的临界信噪比，其中“—”表示临界信噪比小于2 dB，超出了我们蒙特卡洛仿真的范围。可以看出，对于五种Swerling模型，当φ值增大时，临界信噪比均变大，算法性能变差。对于同一种算法，Swerling 0类目标的临界信噪比均高于Swerling III/IV类目标，高于Swerling I/II类目标，与目标的起伏强弱成反比。临界信噪比意味着算法对给定的信噪比目标无积累优势，临界信噪比越高意味着算法性能越差。

表4 对于不同的目标模型，虚警概率为10-6，积累圈数K=6时各算法没有积累得益的临界信噪比

在表4中，对于φ=401的情形，Swerling 0类目标在信噪比≤7.17 dB时没有积累得益，Swerling I/II类目标在信噪比≤6.74 dB时没有积累得益。微弱目标的信噪比常常低于这两个临界信噪比。为了能够有效地检测这些微弱目标，我们必须减少φ值。方法有两种，一是改变雷达参数，例如减小带宽、提高雷达数据率、增大波束宽度等；二是利用目标速度先验尽可能缩小目标搜索范围，表 2中的φ值计算仅考虑了最大速度先验，除此之外，还可以考虑最小速度先验、多普勒速度先验、滤波速度先验等。

上面的仿真结果是在复高斯背景杂波下进行的，适用于热噪声或低分辨率、大擦地角(≥5°)的海陆杂波场景。对于高分辨率，小擦地角(<5°)的海陆杂波场景，其概率密度函数通常具有更长“拖尾”，建模为韦布尔分布、对数正态分布、K分布、G0分布等。下面我们就韦布尔分布杂波进行仿真，其中形状参数α=0.5,尺度参数β=0.5。图4给出了DP-TBD算法为了达到pfa=10-6的虚警概率所需的阈值VT与积累搜索波门大小φ、积累帧数K的关系。与复高斯杂波场景类似，阈值VT随着K的增加而增大。同时可以看出，相同条件下，韦布尔杂波场景中的阈值VT高于复高斯杂波场景6～9 dB。这是由于长“拖尾”现象导致强幅度杂波量测的出现频率增大，为了保持相同的虚警概率，阈值VT需要增大。从而检测性能也随之下降。图5与图6分别给出了韦布尔杂波场景下RCS不起伏目标与RCS起伏目标的检测概率曲线。与复高斯杂波场景相比，检测性能下降7～8 dB。表5给出了韦布尔杂波场景下各种算法相对于单帧的检测得益。检测得益大小的趋势与复高斯杂波场景下相同，即Swerling I/II类目标的检测得益总是高于Swerling III/IV类目标，高于Swerling 0类目标。此外韦布尔杂波场景下的检测得益普遍高于复高斯杂波场景，这是因为韦布尔杂波的起伏更强。

图4 韦布尔杂波条件下，虚警概率为10-6时，积累值函数阈值VT与积累帧数K、积累搜索波门大小φ的关系

图5 韦布尔杂波条件下，针对Swerling 0类目标，虚警概率为10-6，积累圈数K=6时各种算法的检测性能对比

图6 韦布尔杂波条件下，针对RCS起伏目标，虚警概率为10-6，积累圈数K=6时各种算法的检测性能对比

4 结 语

本文通过分析雷达探测场景参数与DP-TBD算法参数间的对应关系，建立了DP-TBD算法性能仿真模型，并利用蒙特卡洛方法给出了不同场景参数下DP-TBD算法的性能分析结果。场景参数包括：

表5 韦布尔杂波条件下，检测概率为0.8，虚警概率为10-6，积累圈数K=6时不同算法对各种目标模型的检测得益对比

复高斯背景杂波与韦布尔背景杂波、五种Swerling类目标以及不同的雷达带宽与数据率。对应关系分析表明，雷达探测场景参数可对应为两个DP-TBD算法参数，一是分辨单元内回波幅度的概率密度函数，二是积累搜索波门大小。仿真分析结果表明:(1)值函数判决阈值VT随着积累搜索波门大小φ的增加而非线性增大；(2)对于不同RCS起伏模型的目标，DP-TBD算法的检测性能均随着φ的增大而非线性下降；(3)对于同一φ值，DP-TBD算法的积累得益与目标RCS起伏强弱、背景杂波起伏强弱成正比；(4)对于同一φ值，多帧积累得益的临界信噪比与目标RCS起伏强弱成反比。φ值越大，DP-TBD算法的积累得益越少，临界信噪比越高，对微弱目标的检测能力越弱，因此我们应尽可能减少φ值。这可通过调整数据率、带宽、波束宽度等雷达参数实现，也可以利用最大最小速度、多普勒速度、滤波速度等先验信息实现。本文采用蒙特卡洛方法进行DP-TBD算法性能分析，虽不能同理论近似方法一样给出通解,但是具有简单、新场景响应快、适用范围广、误差小等优点，更加适合于复杂场景下的多功能雷达。