由一道数学竞赛题引发的思考

【关键词】发展自我；教学的“度”；优生培育

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2019）03-0054-03

【作者简介】周玉俊，江苏省东台市教师发展中心（江苏东台，224200）数学教研员，高级教师。

2018年4月，笔者组织本市高二年级学生参加全国高中数学联赛江苏赛区初赛。在批改试卷时笔者发现一道平面几何证明题全市近4000名考生竟无一人回答正确。无独有偶，在本市举行的青年教师基本功大赛命题时，笔者也选用了这道题，参赛的30多名青年骨干教师同样是“全军覆没”。能够应对难题挑战的学优生都去哪儿了？青年骨干教师的解题能力怎么也有待提高？这些问题引发了笔者对教师自身发展以及为学生提供“适合的教育”的些许思考。现整理成文，供研讨。

一、试题及解析

学生赛题：如图1，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点P，△ABD与△ABC的内心分别为I1、I2，直线I1I2分别与AC、BD交于点M、N，求证：PM=PN。

解析：由I1、I2分别为△ABD与△ABC的内心，可得∠AI1B=180°- （∠DAB+∠DBA）=90°+ ∠ADB，∠AI2B=180°- （∠CAB+∠CBA）=90°+ ∠ACB。由圆的性质可知，∠ADB=∠ACB，所以有∠AI1B=∠AI2B，故A、I1、I2、B四点共圆，因此，∠MI2A=∠I1BA= ∠DBA，∠PMN=∠MAI2+∠MI2A= （∠CAB+∠DBA）。同理∠PNM= （∠CAB+∠DBA）。所以∠PMN=∠PNM，即PM=PN。

教师赛题：如图2，所示四边形ABCD内接于圆，对角线AC、BD交于点P，I1、I2、I3分别为△ABD、△ABC、△PDC的内心，求证：I3P⊥I1I2。

简析：本题与学生赛题的不同在于，一是增加了△DCP的内心I3和线段I3P，并要求证明I3P⊥I1I2；二是解题时需要在分析探究的基础上添加如图3所示的一组辅助线，然后在学生题解答的基础上，增加在等腰△PMN中用“三线合一”即可。（具体过程略）

二、原因分析

近4000名学生参考，其中不乏有能力冲击北大清华的学优生，在同一道试题面前竟然无一例外“全军覆没”，这样的结果着实令人震惊。那么，造成这一状况的原因有哪些？学生的思维障碍和解题疑惑究竟在哪里？经过对学生答卷的诊断和反思，笔者把主要原因归结为两点：一是知识断层；二是能力不足。作为一道竞赛题，题目与学生日常学习的知识跨度较大，特别是在解题过程中如何想到要证A、I1、I2、B四点共圆以及怎样证明它们四点共圆，这是阻碍学生顺利解题的关键所在。从知识层面看，现行苏科版初中教材只讲了“圆内接四边形对角互补”，对于四点共圆的知识则未涉及，加之高中对这一块知识也没有进行专门学习，这个知识“断层”就成了学生难以逾越的障碍。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出，要适当减少教学内容、降低教学难度、加强知识运用、促进学生智力和能力同步发展。在此背景下各版本教材都对教学内容进行了删减，以苏科版数学教材为例，在“圆”这一章就删去了“弦切角定理”“相交弦定理”“切割线定理”，并將“垂径定理”“切线长定理”“圆与圆的位置关系”以及“正多边形和圆”等调整为选学内容。知识的减少，难度的降低带来的是学生学习几何知识课时的减少和训练强度的不足，相应也就造成了学生思维能力的减弱和解题能力的缺失。

如果说学生的“全军覆没”属于事出有因，但受过高等教育和专业训练的30多位青年骨干教师同样无一人解答正确，的确令人费解。新时代对教师的教育观念和专业水平提出了全新挑战，如果教师不能提高自身“理解数学”的水平，又怎能提高自己的教学站位，从而做好对学生的指导和培育？众所周知，学习平面几何对于发展学生的推理能力起着至关重要的作用。教材内容的减少，并不意味着对学生能力要求的降低，知识的缺失并不可怕，可怕的是教学的弱化导致学生推理能力的下降。“抽象”“推理”和“模型”是学生思维能力的重要体现，学生思维能力的下降应该引起我们警觉，这也是本题让我们感受到的危机和困惑。

三、“适合的教育”，教师当怎么做？

坚持以生为本，为每个学生提供“适合的教育”，是新时代我国教育教学改革的重要价值取向。怎样才能为学生提供“适合的教育”？这是一个很大很有价值的课题，笔者不敢妄论，现只结合对以上竞赛题情况的分析，谈谈关于“适合的教育”的一些思考。

1.为学生提供“适合的教育”，要求教师首先要发展好自我。

当前，由于教育体制机制等多方面的原因，教师的“职业倦怠”普遍存在，不少教师自我发展的愿望不强，工作被动应付，能力不升反降。而国家对教育的现实要求是教师要不断提高自身的职业胜任力，以更高的知识和思维视角及更具个性化的教学来指导学生学习，促进学生发展。如何缩小这两者之间的反差？

笔者认为，教师要增强学习的自觉，提高学习的厚度。“登得高”才能“望得远”，人教社编审章建跃提出的“三个理解”（理解数学、理解学生、理解教学）[1]的主张为教师自我发展提供了指南，教师只有通过学习，不断提高“三个理解”的能力和水平，因材施教，为学生提供“适合的教育”才能成为可能。

教师要拓宽教学视野，提高立德树人的境界。正如陕西师范大学罗增儒教授所提出的，数学教学不能只停留在传授双基、培养能力这些基本层面上，还要在总结方法提炼思想的过程中充分挖掘隐含在其中的DNA——“数学核心素养”，并与立德树人相沟通，结合数学学科的特点，培养和发展学生的核心价值观。[2]

教师要坚持学研结合，不断提升自身的专业素养。一个教师如果连解题关都过不了，仅仅满足于当“复印机”和“传声筒”，那么，为学生提供“适合的教育”只能成为一个难以实现的美好愿望，也正因为如此，教师只有不断提升自身的专业素养，才能将“适合的教育”有效落到实处。

2.为学生提供“适合的教育”，需要教师把握好教学的“度”。

适合的才是最好的。《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出：“要充分考虑不同层次学生的成长和发展需求，为学生提供多样化的课程资源和良好的学习环境，让不同的人在数学上得到不同的发展。”中学作为基础教育的一个环节，承担着为国家培养合格的劳动者和接班人的重任，同时也担负着为高等教育培养和输送优秀人才的使命，这就要求教师要加强教学研究，把准教学要求，既要“面向全体”，重视基础，确保“下要保底”目标的达成，又要立足学情，因材施教，体现“上不封顶”的教学要求。

当前受课改和高考指挥棒的影响，一些教师视课标和高考要求为教学的“天花板”和“红线”，日常教学不敢“越雷池一步”，这样做带来的后果是课堂教学内容的深度和广度受限，学生的思维层次不高，能力缺失。长此以往，教师的解题能力和思维水平也会逐步被学生同化，教学能力日渐衰退，上面所讲的例子就是一个有力的证明。考试并不是学生发展的终极目标，教师要立足学生的长远发展，根据具体学情，合理把握好教学的“度”，同时要注意处理好课标要求与学生充分发展的关系，“面向全体”与“因材施教”的关系，夯实基础与提优促特的关系。特别是面对部分学优生，教师不能缩手缩脚，患得患失，更不能搞“齐步走”和“一刀切”，既要注意把握课标的基本要求，又要体现和落实对优生的较高要求，促进学生富有个性的发展。比如在上面的案例中，虽然四点共圆不是高考要求，但对于用圆的定义证明四点共圆或者根据图形的性质和判定的互逆关系研究隐圆问题，这些都是非常好的学习资源，对于激发学生的学习兴趣，优化思维品质，促进特长发展大有裨益。

“适合的”当然是最好的，“适合的”更需要全体教育人共同探索与谋求。愿我们共同努力，让“适合的教育”在新时代开出更多更鲜更美的教育之花！

【参考文献】

[1]章建跃.理解数学 理解学生 理解教学[J].中国数学教育：高中版，2010（12）：3-7.

[2]罗增儒.教师为什么要发展[J].中学数学教学参考，2018（14）：1.