Cattaneo模型的紧致有限差分法

(山东师范大学数学与统计学院，250358，济南)

1 引 言

本文考虑如下的Cattaneo模型：

(1)

其中Ω:={(x,t)∈R2:0≤x≤L,0

在传统的Fourier定律和Fick扩散定律描述的扩散现象中，一点在经过的一瞬时，在极远处就会受到该点的扰动影响，扰动的传播速度似乎是无限的，然而这个属性是非物理的.Cattaneo模型[1]修正了传统的Fourier定律和Fick扩散定律，通过增加一个松弛时间项来克服这个矛盾，由Christov[2]提出了Cattaneo定律的框架,并由Ostoja-Starzewski[3]给出了Maxwell-Cattaneo方程的数学推导.Haddad[4]利用Cattaneo-Christov理论研究了Brinkman多孔介质的问题，Straughan[5]研究了Cattaneo类型的不可压缩牛顿流体水平层的热对流问题.Ghazizadeh等[6]给出了分数阶Cattaneo方程的显式和隐式两种格式的有限差分算法，并且Qi等[7]给出了分数阶Cattaneo方程的精确解.

紧致有限差分法是一类高精度的有限差分方法，具有高精度、高分辨率以及对网格节点要求低等优点，受到很多学者的关注，1992年,Lele[8]提出了紧致差分格式的一般形式，Dennis和Hundson[9]研究的对流扩散方程的四阶紧致差分格式对后续研究影响较大.本文提出问题(1)的紧致差分格式，通过对具体算例进行数值模拟，并与二阶差分格式相比较，验证了其精确性和有效性.

2 格式建立

应用公式

可得到

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

接下来，在此二阶差分格式的基础上建立4阶紧致差分格式，定义算子A,满足

由文献[10]中引理1.2(g)，有

其中ξik∈(xi-1,xi+1) .将算子A作用于(2)式两端，并应用(3)、(4)和(5),整理可得

(7)

应用文献[10]中引理1.2(c)、(f)和(e),有

结合(1)式可得初始条件

对(7)式整理可得到

其中余项

(8)

其中紧致差分格式的截断误差为O(τ2+h4) .

3 数值模拟

在方程(1)中令ε=0.1,D=1,u0(x)=sin(πx),u1(x)=0, 由文献[11,12]可得其精确解为

对空间步长h和时间步长τ分别取对应的值，则紧致差分解与二阶差分解有以下相应的L2误差以及空间和时间收敛阶.

表1 紧致差分格式L2误差

表2 二阶差分格式L2误差

由表1、表2可以看出，紧致差分格式(8)可分别得到关于空间4阶收敛，关于时间2阶收敛，二阶差分格式(6)可得到空间、时间均为2阶收敛.

在h相同的情况下，可以明显地看出紧致差分格式(8)解的误差小于二阶差分格式(6)解的误差.由此可见,在使用同样节点数的情况下,紧致差分方法的计算精度优于二阶差分方法.