重视操作，提升能力，感悟思想

孔忠伟 来晓春

对于平面图形的面积复习（人教版五年级上册第六单元“多边形的面积”整理和复习P103-105），我们可以怎么复习呢？大家可能会想到面积公式的回顾、面积算法的优化、面积公式的沟通等，因为这样的思路在一些名师的课堂中已经被演绎得非常精彩，而且也被广大一线教师所接受和传播。那么，我们希望传承和突破的是什么？

一、设计理念

（一）基于画图回顾公式推导，感受知识联系

学习本单元时，几乎每节课都会用大量的时间，放手让学生去研究图形面积公式的推导过程，几乎每个图形的面积计算推导都有很多方法，学生基本能在积极主动的状态下学习获得。但往往在推导出面积计算方法后，我们就很少再去回顾复习这个过程，在平时的练习中，学生也很少去运用这样的思想来解决问题，这非常可惜。

所以在设计本课时，我们特别注重面积计算公式的回顾，设计了多种不同形式的操作，以任务驱动让学生在操作练习过程中主动去回顾公式推导过程，感受几个图形面积之间不断转化的思想，领悟几个图形面积计算公式之间的联系。比如：让学生画与已知长方形面积相等的其他图形，学生在画图的过程中，自然就需运用转化思想，逆向地去思考图形面积公式推导过程，从而使学生感受图形之间的紧密联系，感受转化的必要性，提升学生解决问题的能力。

（二）基于变式灵活计算面积，提升空间想象能力

能靈活计算图形的面积是学生空间想象能力强的表现，但学生的灵活计算能力，不仅仅是割补等方法的运用，同时也需要引导学生利用图形之间的关系来解决问题。在第二个教学板块中，我们并没有直接让学生去计算，而是去掉了数据，让学生找出众多图形中面积相同的图形，继续以任务驱动引导学生更加灵活的解决问题，主动利用两个等面积却形状不同图形之间的性质关系来解决问题，从而帮助学生从更多的角度去思考，提升学生的空间想象能力。

（三）基于沟通图形面积公式联系，发展空间观念

在复习课的教学中，把教科书学得越来越薄，是我们教学的重要目标之一。通过数形结合，不断让学生观察、比较、归纳，沟通不同图形之间的联系，使学生感受到不同图形变化中的“不变”，提升学生的空间观念。本课中，我们在整体设计的基础上，精心选择了一些特殊梯形，通过变化，逐渐沟通梯形和这些图形之间的联系，并鼓励学生从新的角度来看待这些图形和面积计算公式，从而使学生深入了解各平面图形之间的联系，发展空间观念。

基于以上理念，我们确定了本课的教学目标：

（1）通过学生自主解题尝试，进行图形面积公式梳理。

（2）经历画一画、找一找、算一算、想一想等数学活动，复习图形面积公式之间的关系，提升学生灵活解决问题的能力。

（3）通过探究活动，感受数形结合、转化、极限等思想，重新发现长方形、平行四边形、三角形与梯形面积公式之间的新联系，并尝试解决一些问题。

二、教学过程

（一）在计算中复习平面图形的面积公式

师：同学们，这些平面图形认识吗？你能计算它们的面积吗？

生：4×6=24 cm2。

生：8×5=40 cm2。

生：6×5÷2=15 cm2。

生：（5+7）×4÷2=24 cm2。

师：刚才同学们都算得特别快，那么你们是根据什么来计算的呀？

生：公式。

师：那我们就来回顾一下这些面积公式。（板书公式）

【评析】通过学生对一些平面图形面积的计算，让学生主动运用面积公式解决问题，从而在不知不觉中简单梳理回顾公式，复习旧知，激发学习的兴趣。

（二）在画图中感受图形面积计算公式之间的联系

1.画出与长方形面积相等的其他图形

师：看来，利用公式来计算面积，你们都没有问题了，现在只剩下一个图形，你能画出与它面积相等的其他图形吗？

生：能。

师：老师这里有要求。画出与长方形面积相等的平行四边形、三角形或梯形，选择其中一种画一画。

学生操作，教师收集学生画的图形。

2.探究所画图形与其他图形的联系

展示①：平行四边形

师：你是怎么想的？来介绍一下。

生：我是把平行四边形想成长方形来画的。

师：原来，你是把平行四边形补成了长方形。

展示②：三角形

师：你是怎么想的？

生：我是先用24乘2等于48，然后去想只要找到底和高相乘等于48的平行四边形就可以了。

展示③：梯形

师：刚才画梯形的同学很少，现在如果让你继续来画梯形，你们会怎么思考？

生：可以先想成一个面积相等的平行四边形，然后再找到它的一半就是梯形。

3.发现长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式之间的联系

师：刚才我们画出这些图形，现在如果让你来选，你们觉得哪个最重要？

生：应该是平行四边形比较重要，因为画三角形和梯形时，它们都转化成了平行四边形。

生：应该是长方形比较重要，因为平行四边形都要转换成长方形，而且长方形是特殊的平行四边形。

师：很好，我们在画平行四边形时可以通过割补转换成长方形，而三角形和梯形都需要转化成平行四边形来思考，是啊，图形之间有着紧密联系。

【评析】通过让学生画一画，让学生在操作与介绍中，自主回顾公式的推导过程;在选一选中，让学生讨论最重要的图形，再次让学生主动回顾每个面积公式推导的过程。通过不同形式任务驱动学习，使学生在不知不觉中回顾了长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式的推导过程，沟通各种公式推导之间的联系，从而使学生理解其中的转化思想，巩固相关的内容。

（三）计算面积

1.在图形中找面积相同的图形

师：在没有数据的情况下，你能找出面积相等的图形吗？

生：三角形ACD和三角形BCD面积相等。

生：长方形ACDB和平行四边形CDGF面积相等。

生：三角形ACF和三角形BDG面积相等。

2.计算几组复杂图形的面积，并沟通联系

师：同学们很厉害，没有数据都能够找到两者之间的联系，现在给出数据，你们能算出面积吗？

第一题：如图，求四边形ECDA的面积。

生：（2+10）×4÷2=24 cm2。

生：2×4÷2=4 cm2，10×4÷2=20 cm2，4+20=24 cm2。

師：这两种方法有哪些不同？

生：一种是把它看成一个大梯形，另一种是把它看成两个三角形来计算。

师：嗯，如果让这个三角形转动起来，还可以看成什么图形？

生：可以把一个小三角形翻转一下，与另一个拼成一个大三角形。

第二题：如图，求BO的长度。

生：我是用平行四边形的面积减去涂色部分面积，然后求OD，最后用BD减去OD就等于BO的长度。

4×10-25=15cm2，15×2÷10=3cm，4-3=1cm。

师：非常好！你们听懂了吗？是的，可以先算出OD，再算OB。除了这个方法，还有其他的方法吗？

生：我是利用两个图形的关系来计算，因为前面已经知道这两个梯形面积相等，所以可以直接用25×2÷10=5cm，这就是上底加下底的和，然后用5-4=1cm。

小结：我们可以利用公式来解决问题，也可以利用图形之间的关系来解决问题。

【评析】在上面的教学中，先让学生在无数据的情况下找一找，就是为了让学生能够利用图形去判断面积之间的关系，并能够寻找面积相等的图形，然后让学生算一算，引导学生从更多角度来灵活计算面积，提升学生的空间观念。

（四）动态展示图形间的关系

师：刚才我们一起计算了几个梯形的面积，看来几个梯形之间有着紧密的联系，请你找一找，它们有什么联系？

生：它们的面积相等，高也相等。

生：它们的上底与下底的和是相等的。

师：非常好。现在老师要在上底2和3之间插一个这样的梯形，你觉得会是怎样的？

生：是一个上底是3，下底是9的梯形。

师：嗯。那如果在3号后面插一个呢？

生：是一个上底是1，下底是11的梯形。

师：为了让大家看得更清楚，老师把这五个梯形放到黑板上。如果老师想在它们后面再继续插入梯形，你们觉得还可以插吗？

生：还可以插的。但会出现小数。

师：你能举个例子吗？

生：上底是0.5，下底是11.5。

师：好。还可以插吗？（可以）插得完吗？

生：插不完，可以有无数个。因为小数就可以有无数个。

师：是啊，那如果上底不断小下去，最后会怎样。

生：最后变成三角形。因为当上底变成0时，就是三角形。（板书添上三角形）

师：哎！这时候就变成了三角形。看来，它们之间有着紧密的联系。梯形与三角形有这样的联系，平行四边形（包括长方形）与它们有联系吗？

生：当上底和下底相等时，它们就变成了平行四边形。

师：是啊，我们不但需要灵活计算平面图形的面积，还要善于用联系的眼光去看待以前学过的图形，不断去发现它们之间的联系，从而帮助我们更好的解题。

【评析】沟通梯形与三角形、平行四边形（含长方形）等图形之间的联系和面积公式的变化，不仅引导学生重视图形之间的关系，同时也引导学生用联系的眼光来审视旧知，促进学生的知识结构化，提升数学能力。

（浙江省杭州市滨文小学   311200浙江省杭州市滨江区教师进修学校   311200）