古典概型应用实例分析

王冠凯

摘 要：生活中存在很多数学模型，古典概型是其中最常见也最广泛应用的数学模型之一。我们应当善于将学习到的知识应用于生活实际，那么古典概型在具体的实例中是怎样应用的呢？本文就针对这一问题给大家做一个简单介绍。

关键词：古典概型 古典算法 应用

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2019）02-0-01

引言

古典概型起源于赌博，十六世纪的意大利学者卡尔达诺在《机会性游戏手册中》公布了关于赌博实践的体会，这本书写于1526年左右，但一直到一百多年后的1663年才出版。[1]古典概型也称为古典算法，是我们高中阶段所接触到的一种在封闭系统内的概率模型。在古典模型下，随机实验所有可能的结果都是有限的，并且每个基本结果发生的概率也是相同的，即古典概型具有的最基本的两个特征是有限性和等可能性。

一、猜拳游戏

古典概型在概率中占有比较重要的地位，一方面，它的许多概念比较直观，容易理解；另一方面，它又概括了许多实际问题，有着很广泛的应用。[2]猜拳游戏是其中最简单的一种，也是古典概型有限性和等可能性最直观的体现。因为复杂的模型都是以简单模型为基础构建而成的，因此只要掌握了简单模型，对复杂模型只要按照步骤一步步分析，困难也就迎刃而解了。

例1、甲乙两个同学玩一局猜拳游戏（剪刀、石头、布），问会出现几种游戏结果，且每种游戏结果出现的概率各是多少？

解析：首先，只有两人参加的猜拳游戏的结果有三种情况，甲胜出；乙胜出；甲乙平局。

当甲出石头时，乙分别出石头、剪刀、布分别对应平局、甲胜出、乙胜出的游戏结果。

当甲出剪刀时，乙分别出石头、剪刀、布分别对应乙胜出、平局、甲胜出的游戏结果。

当甲出布时，乙分别出石头、剪刀、布分别对应甲胜出、乙胜出、平局的游戏结果。

由以上分析可以得出：九种出拳情形中甲胜出、乙胜出、平局的情形分别都是三种。

平局的概率：P（A）=3/9=1/3

甲胜出的概率：P（B）=3/9=1/3

乙胜出的概率：P（C）=3/9=1/3

二、掷骰子问题

古典概率知识在竞争规则中有着重要价值，很多竞技或游戏中经常会用到掷骰子来决定先手后手。它不仅是制定游戏规则的重要道具，也可以检验一个简单构建的竞争机制是否公平，为比赛创造出一个良好的竞争环境。

例2、甲乙两位同学打乒乓球，用同时掷两个质地相同的骰子决定谁先发球。

问：两个骰子向上点数之和是6的概率是多少？如果规定所掷骰子和为单数时甲先发球；和为偶数时乙先发球，该规则是否公平？

解析：掷一个骰子会出现6种不同的结果，我们分别把两个骰子标记为M，N。同时掷两个质地相同的骰子，总共会出现以下这些情况：

（M1，N1）、（M1，N2）、（M1，N3）、（M1，N4）、（M1，N5）、（M1，N6）

（M2，N1）、（M2，N2）、（M2，N3）、（M2，N4）、（M2，N5）、（M2，N6）

（M3，N1）、（M3，N2）、（M3，N3）、（M3，N4）、（M3，N5）、（M3，N6）

（M4，N1）、（M4，N2）、（M4，N3）、（M4，N4）、（M4，N5）、（M4，N6）

（M5，N1）、（M5，N2）、（M5，N3）、（M5，N4）、（M5，N5）、（M5，N6）

（M6，N1）、（M6，N2）、（M6，N3）、（M6，N4）、（M6，N5）、（M6，N5）

由此可知：同时掷两个骰子一共会出现36种情况。两个骰子向上点数之和是6的情况一共有5种，故两个骰子点数之和是6的概率为P（A）=5/36。两个骰子向上的点数之和是奇数的情况有18种概率为P（B）=18/36=1/2，偶数的情况有18种概率为P（C）=18/36=1/2，P（B）=P（C）。故规定所掷骰子之和为单数时甲先发球，和为偶数时乙先发球，该规则公平。

三、摸球问题

生活中，大家总是希望少量的投入获取大量的回报，如何正确看待小概率事件带来的利益，是怀抱一丝希望无线循环还是摒弃该小概率方案选择稳妥的方案？我们利用古典概型可以在一定程度上避免盲目上当受骗。

例3、校门口外，卖糖画的小贩拿出一个布袋，里面放了6个相同质地大小的玻璃球，3个黑球3个白球，在纸板上写着购买规则：

（1）摸球一次，三个球是同一个颜色，则免费送一个老虎糖画。

（2）摸球一次，三个球若不是同一个颜色，则给摊主一元钱。

问：该种购买规则下，從概率角度分析是五元买一个老虎糖画划算还是摸球划算。

解析：把“摸球一次，三个球是同一个颜色”记为事件X，把“摸球一次，三个球不是同一个颜色”记为事件Y，事件A与事件B 为对立事件，其中基本事件有：

（黑1黑2白1）（黑1黑2白2）（黑1黑2白3）（黑1黑2黑3）

（黑2黑3白1）（黑2黑3白2）（黑2黑3白3）（黑2白1白2）

（黑2白1白3）（黑2白2白3）（黑3白1白2）（黑3白2白3）

（黑3白1白3）（白1白2白3）（黑1黑3白1）（黑1黑3白2）

（黑1黑3白3）（黑1白1白2）（黑1白1白3）（黑1白2白3）

共20中情况，其中事件X有2种情况；事件Y有18种情况。事件X发生的概率为P（X）=2/20=1/10；事件Y发生的概率为P（Y）=18/20=9/10，1/10<9/10。即用摸球规则得到老虎糖画没有花5元钱购买老虎糖画划算。

由上例可知，对于一些求总量的概率问题，如果问题条件发生变化，可以从特殊到一般，建立递推关系求解。[3]

结语

古典概型应用广泛，经济、工业生产、生物遗传等领域都有它的身影出现。我们应用古典算法计算生活中琐碎的事件，绝非为了计算而计算，而是应用古典概型将生活中复杂的问题以一种直观的方式呈现出来，运用数学思维，化繁为简。我们应当善于将学习过的知识学以致用，当深入了解之后就能在以后的生活中举一反三，更加深刻的了解事物。

参考文献

[1]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.2004.

[2]安永红.古典概型问题的推广[J].呼伦贝尔学院报.2008-12.

[3]韩宝艳.古典概型解题技巧解析[J].山东工业技术.2014-05.