让人“凌乱”的四点三向量问题

江苏扬州大学附属中学 (225000) 孟伟业

评注：四边形中，向量多，路径选择不对，计算会很复杂，甚至不得解.

图1

图2

评注:本题也可以用建系的方法加以解决，本题的背景实际是“对角线向量定理”，有兴趣的读者可以翻阅参考文献[1]，在此不再赘述.

从上面的几个例子我们可以看出在解具体问题时，有时并不是四个点，可能有更多个点，这时需要我们抓住“关键”的四点(如例3、例4)，有时我们也需要挖掘向量之间的数量积关系(如例5)，从而转化为有关四点的向量的数量积问题.对于这类问题，我们的处理策略是：以一个点作为起点，其他三点作为终点，构成三个向量，再用这三个向量去描述整个系统.根据实践，这样的策略势必使得代数式的结构特征更加明显，使得原本“凌乱”的问题变得“清晰”，从而使得问题更加容易求解.